人教A版理科高考数学一轮细讲精练【选修41】几何证明选讲

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1、选修4－1　几何证明选讲A 第1讲　相似三角形的判定及有关性质 [最新考纲] 了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理． 知 识 梳 理 1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． (2)平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应相

2、等的两个三角形相似． ②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似． ③三边对应成比例的两个三角形相似． (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． ②相似三角形周长的比等于相似比． ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高， 则有CD2＝AD·BD， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.

3、 诊 断 自 测 1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′， 如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________. 解析　由平行线等分线段定理可直接得到答案． 答案　 2.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________． 解析　∵△ABC∽△AFE， ∴＝. 又EF＝8，∴BC＝12. 答案　12 3. (2014·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________. 解析　在Rt△

4、ADB中， DB＝＝， 依题意得，△ADB∽△ACE， ∴＝，可得EC＝＝2. 答案　2 4.如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________． 解析　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB， 又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝. 故△ADE与△ABC的相似比为1∶. 答案　1∶ 5. (2014·湛江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________. 解

5、析　如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即 EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此＝. 答案　 考点一　平行截割定理的应用 【例1】 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________． 解析　由⇒＝＝＝，又DF＝1， 故可解得AF＝2，∴AD＝3， 又＝，∴AB＝. 答案　 规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果． 【训练1】 如图，在梯形ABC

6、D中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________． 解析　如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H. ∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2. ∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h2， S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1， ∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5. 答案　7∶5 考点二　相似三角形的判定及性质 【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E为AC的中点， E

7、D、CB延长线交于一点F. 求证：FD2＝FB·FC. 证明　∵E是Rt△ACD斜边中点， ∴ED＝EA，∴∠A＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A， ∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC， ∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC， ∴＝，∴FD2＝FB·FC. 规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题． (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等

8、． 【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________. 解析　∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED， 又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠为公共角， 所以△PDE∽△PEA， ＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝. 答案　 考点三　直角三角形射影定理及其应用 【例3】 如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.

9、 证明　∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°， ∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°， ∴△AFH∽△GFB.∴＝， ∴AF·BF＝GF·HF. 因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF， 所以DF2＝GF·HF. 规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”． (2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法． 【训练3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，

10、AD＝4，sin∠ACD＝，则CD＝______，BC＝______. 解析　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝＝，得AC＝5，CD＝＝3， 又由射影定理AC2＝AD·AB，得AB＝＝. ∴BD＝AB－AD＝－4＝， 由射影定理BC2＝BD·AB＝×，∴BC＝. 答案　3　 三角形相似与圆的交汇问题 【典例】 如图所示，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明： (1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE. [审题视点]

11、 (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB，△DAB中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD∽△ABD，再结合第(1)问结论得证． 证明　(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB. 从而＝， 即AC·BD＝AD·AB. (2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD. 从而＝，即AE·BD＝AD·AB. 综合(1)的结论知，AC＝AE. [反思感悟]　1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD∽△ABD，从而

12、无法解答． (2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换． (2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用． 【自主体验】 (2013·江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC. 求证：AC＝2AD 证明　连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又

13、因为∠A＝∠A， 所以Rt△ADO ∽Rt△ACB. 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD， 故AC＝2AD. 一、填空题 1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为________． 解析　由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE. 答案　△FCD、△FBE、△ABD 2. (2014·西安模拟)如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________． 解析　∵

14、M，N分别是AB、BC中点，故MN綉AC， ∴△MON∽△COA，∴＝2＝. 答案　1∶4 3. (2014·渭南模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________. 解析　由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴＝. 又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝＝＝2. 答案　2 4. (2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝_______

15、_. 解析　连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝DB＝a. 答案　 5．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________. 解析　 如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 设AD＝x，∵CD⊥AB于D， ∴由射影定理得CD2＝AD·DB， 即62＝x(13－x)， ∴x2－13x＋36＝0， 解得x1＝4，x

16、2＝9. ∵AD＞BD，∴AD＝9. 答案　9 6．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________. 解析　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝. 答案　 7. (2014·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝

17、12，则EF＝________. 解析　∵AB∥CD∥EF， ∴＝，＝， ∴＝，＝， ∴4(BC－BF)＝12BF， ∴BC＝4BF， ∴＝4＝，∴EF＝3. 答案　3 8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 解析　∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB， OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20， △OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32， ∴EF＝2××20＝15. 答案　15 9．(2012·

18、;广东卷)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________. 解析　连接AO，AC，因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC为等边三角形，则∠ACP＝120°， ∴∠APC＝30°，∴△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1， ∴PA＝2×1×sin 60°＝. 答案　 二、解答题 10. 如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点， 证明：(1)∠

19、ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD. 证明　(1)因为＝，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝， 即BC2＝BE·CD. 11．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE. 证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 证明　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠

20、EAB. 由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB， 从而∠EAB＋∠EBF＝； 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC. 12. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证： (1)△ABC≌△DCB

21、； (2)DE·DC＝AE·BD. 证明　(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD. ∵AB＝DC，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB. (2)∵△ABC≌△DCB. ∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB. ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB. ∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC. ∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD. ∴DE∶BD＝AE∶CD. ∴DE·DC＝AE·BD. 第2讲　直线与圆 [最新考纲] 1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的

22、切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论． 2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理. 知 识 梳 理 1．圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 3．圆的

23、切线的性质及判定定理 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论： ①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．与圆有关的比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 相交 弦定 理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝ PC·PD (2)△ACP∽△BDP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一 (2)求弦长及角 割线 定理 PAB、PCD是⊙O的割 线 (1)PA·PB＝ PC·PD (2)△PA

24、C∽△PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD (2)应用相似求AC、BD 切割 线定 理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割 线 (1)PA2＝PB·PC (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一 (2)求解AB、AC 切线 长定 理 PA、PB是⊙O的切线 (1)PA＝PB (2)∠OPA＝∠OPB (1)证线段相等，已知PA求PB (2)求角 5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1：圆内接四边形的对角互补． ②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内

25、接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 诊 断 自 测 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________． 解析　连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案　6.4 2.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC

26、＝80°， 那么∠BDC＝______. 解析　连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝∠BOC＝50°. 答案　50° 3.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交 于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________． 解析　∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴＝＝. 答案　 4. (2014·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A

27、，∠MAB＝35°，则∠D＝________. 解析　连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°. 答案　125° 5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径r＝________. 解析　设⊙O的半径为r(r＞0)， ∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3. 延长PO交⊙O于点C， 则PC＝PO＋r＝3＋r. 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r. 由圆的割线定理知，PA·PB＝PD&#

28、183;PC， ∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝. 答案　 考点一　圆周角、弦切角及圆的切线问题 【例1】 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求∠DAC的度数； (2)求线段AE的长． 解　(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°， 由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°， 由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°， 知∠DCA＝60°，

29、故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°. (1) (2)法一　连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA， 则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3. 法二　连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°， (2) 又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO， 由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形， 又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3. 规律方法 (1)

30、圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小． (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角． 【训练1】 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小． (1)证明　由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角． 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC. (2)解　因为△AB

31、E∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE 又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE， 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角， 所以∠BAC＝90°. 考点二　与圆有关的比例线段 【例2】 如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC. 证明　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C， ∠ADE＝∠APD＋∠PAB.

32、因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD. 又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE. (2)⇒△PCE∽△PAD⇒＝； ⇒△PAE∽△PBD⇒＝. 又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒＝. 故＝，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC. 规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割

33、线定理． 【训练2】 (2013·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________． 解析　由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4. 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB. 由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC， 因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形． 所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以＝，CF＝＝. 答案　

34、 考点三　圆内接四边形的判定及应用 【例3】 (2014·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小． (1)证明　连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A、P、O、M四点共圆． (2)解　由(1)得A、P、O、M四点共圆

35、， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部， 所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°. 规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 【训练3】 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 求证：(1)B、D、H、E四点共圆； (2)CE平分∠DEF. 证明　(1)在△ABC中，∵

36、∠ABC＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°. ∵AD，CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠HAC＋∠HCA＝60°， ∴∠AHC＝120°. ∴∠EHD＝∠AHC＝120°. ∴∠EBD＋∠EHD＝180°. ∴B，D，H，E四点共圆． (2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线， ∴∠EBH＝∠HBD＝30°. 由(1)知B，D，H，E四点共圆， ∴∠CED＝∠HBD＝30°， ∠HDE＝∠EBH＝30°. ∴∠HED＝∠HDE＝30°. ∵AE＝AF，A

37、D平分∠BAC，∴EF⊥AD. 又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°， ∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF. 关于圆的综合应用 【典例】 如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P. (1)求证：AD∥EC； (2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长． [审题视点]　(1)连接AB，在⊙O1中使用弦切角定理，在⊙O2中使用圆周角定理，即可证明∠D＝∠E；(2)根据切割线定理，只要求出BE的长度即可，在⊙

38、O2中根据相交弦定理可得BP·PE，根据(1)中△ADP∽△CEP，又可得BP，PE的一个方程，解方程组求出BP，PE的长度即可． (1)证明　连接AB，如图所示． ∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E.∴∠D＝∠E.∴AD∥EC. (2)解　设BP＝x，PE＝y， ∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.① ∵根据(1)，可得△ADP∽△CEP， ∴＝，即＝，② 由①②，可得或(负值舍去) ∴DE＝9＋x＋y＝16. ∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16. ∴AD＝12. [反思感悟] 在平面几何的

39、有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把⊙O2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【自主体验】 如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F. (1)求证：AB2＝AE·BC； (2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长． (1)证明　∵BE切⊙O于B， ∴∠ABE

40、＝∠ACB. 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC， ∴＝. ∴AB2＝AE·BC. (2)解　由(1)△EAB∽△ABC，∴＝. 又AE∥BC，∴＝，∴＝. 又AD∥BC，∴，∴AB＝CD， ∴＝，∴＝， ∴EF＝＝. 一、填空题 1. 如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________. 解析　由弦切角定理得， ∠MCA＝∠ABC，sin ∠ABC＝＝＝＝. 答案　 2. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80

41、76;，则∠ACO＝________. 解析　∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD. 由此得，∠ACO＝∠CAD， ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB. ∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°. 答案　40° 3. (2012·天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________． 解析　因为AF·BF＝EF&

42、#183;CF，解得CF＝2，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝. 答案　 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________. 解析　由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB， 又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2. 答案　2 5. (2012·陕西卷)如图，在圆O中

43、，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________. 解析　由题意知，AB＝6，AE＝1， ∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5. 答案　5 6. (2012·广东卷)如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________. 解析　∵PB切⊙O于点B， ∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴

44、△ABD∽△ACB.∴＝， ∴AB2＝AD·AC＝mn， ∴AB＝. 答案　 7. 如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______． 解析　∵AC、AD分别是两圆的切线， ∴∠C＝∠2，∠1＝∠D， ∴△ACB∽△DAB. ∴＝， ∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8. ∴AB＝＝2(舍去负值)． 答案　2 8．(2013·湖南卷)如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．

45、解析　根据相交弦定理求出PC的长， 过O作弦CD的垂线． 由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD. 又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4， ∴CD＝PC＋PD＝5. 过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点， ∴OE＝＝＝. 答案　 9. (2013·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________． 解析　在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30

46、°.∵AB＝20， ∴AC＝10，BC＝10. ∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5. 由切割线定理得DC2＝DE·DB， 即(5)2＝15DE， ∴DE＝5. 答案　5 二、解答题 10. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD. (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，AC＝，求AB的长． (1)证明　∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝90°， ∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO，

47、∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD. (2)解　由(1)OC∥AD且OC⊥DC， ∴AD⊥DC，∴即∠ADC＝90°， 连接BC，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， 又∵∠DAC＝∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴＝， ∵AD＝2，AC＝，∴AB＝. 11. (2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为1，BC＝，延

48、长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． (1)证明　如图，连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE， 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE. 又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°. 由勾股定理可得DB＝DC. (2)解　由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC边的中垂线，所以BG＝. 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为. 12. 如图，已知AD是△AB

49、C的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC. (1)求证：FB＝FC； (2)求证：FB2＝FA·FD； (3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长． (1)证明　因为AD平分∠EAC， 所以∠EAD＝∠DAC. 因为四边形AFBC内接于圆， 所以∠DAC＝∠FBC. 因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， 所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC. (2)证明　因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC， ∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB， 所以＝，所以FB2＝FA·FD. (3)解　因为AB是圆的直径， 所以∠ACB＝90°， 又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°， ∠DAC＝∠EAC＝60°，因为BC＝6， 所以AC＝BCtan∠ABC＝2， 所以AD＝＝4(cm)．