2020高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修22

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1、 北师大版2019-2020学年数学精品资料 【成才之路】高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修2-2 一、选择题 1．函数y＝xlnx＋m的单调递增区间是(　　) A．(，＋∞) B．(0，e) C．(0，) D．(，e) [答案]　A [解析]　定义域为{x|x>0}， 由y′＝lnx＋1>0，得x>. 2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(　　) A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增 D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案]　A [解析]　f′(x)＝2－c

2、osx>0在(－∞，＋∞)上恒成立． 3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案]　D [解析]　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，2) (2，＋∞) f′(x) － ＋ f(x) 单调递减 单调递增 由此得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，单调递增区间为(2，＋∞)，故选D. 4．函数f(x)＝(x＋3)e－x的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B

3、．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案]　A [解析]　∵f(x)＝(x＋3)e－x， ∴f ′(x)＝e－x－(x＋3)e－x＝e－x(－x－2)， 由f ′(x)>0得x<－2，∴选A． 5．(2014新课标Ⅱ文，11)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) [答案]　D [解析]　由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1. 把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键． 二、填空题 6．函数f(x)＝x

4、3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． [答案]　(－1,11) [解析]　f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令(x－11)(x＋1)<0，解得－1

5、f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f(x)在R上只能递增，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥. 三、解答题 9．求函数y＝2x3－3x的单调区间． [解析]　由题意得y′＝6x2－3.令y′＝6x2－3>0，解得x<－或x>. 当x∈(－∞，－)时，函数为增函数；当x∈(，＋∞)时，函数也为增函数． 令y′＝6x2－3<0，解得－

6、∞)上单调递增，试求a的范围． [解析]　解法一：(区间法) f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1. 当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意． 当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7. 解法二：(数形结合) 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根

7、为1，则另一根在[4,6]上． 所以即所以5≤a≤7. 解法三：(转化为不等式的恒成立问题) f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为27，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7. [点评]　本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了

8、数学上的数形结合与转化思想. 一、选择题 1．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数(　　) A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π) [答案]　B [解析]　y′＝－xsinx.当x∈(π，2π)时，y′>0，则函数y＝xcosx－sinx在区间(π，2π)内是增函数． 2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) [答案]　D [解析]　函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上的函数值为正，排除A、C；原函数y＝f(x)

9、在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上的函数值先正、再负、再正，排除B.故选D. 3.(2014福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f ′(x)满足f ′(x)e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)e2012f(0) C．f(2)e2f(0)，f(2012)

10、解析]　∵函数F(x)＝的导数 F′(x)＝＝<0， ∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数， ∴F(2)0时，a≥－－恒成立． 令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1. ∴a≥t－4t2－3t3恒成立． 令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝

11、1－8t－9t2 对称轴t＝－＝－， ∴函数g′(t)在[1，＋∞)上减函数 而且g′(1)＝－16<0， ∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立． ∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数， ∴g(t)max＝g(1)＝－6. 当x<0时，a≤－－恒成立 ∵x∈[－2,0)，∴t≤－， 令g′(t)＝0，∴t＝－1， ∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－]上为增函数， ∴g(t)min＝g(－1)＝－2， ∴－6≤a≤－2. 二、填空题 5．(2014郑州网校期中联考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____

12、___． [答案]　b≤－1 [解析]　f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1. 6．下图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)<0的解集为__________________． [答案]　(－∞，－)∪(0，) [解析]　由f(x)的图像知，f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上为增函数，在(－，)上为减函数， ∴当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(－，)时

13、，f′(x)<0. ∴xf′(x)<0的解集为(－∞，－)∪(0，)． 三、解答题 7．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． [解析]　(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx， 故f ′(x)＝2a(x－5)＋. 令x＝1，得f(1)＝16a，f ′(1)＝6－8a， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝. (2)由(1)知，f

14、(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)， f ′(x)＝x－5＋＝. 令f ′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 当03时，f ′(x)>0，故f(x)的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2

15、x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0， 又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0. (2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1