【赢在高考】2013届高考数学一轮配套练习8.6椭圆文苏教版

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1、第六节椭圆 强化训练当堂巩固 ，则该椭圆的离心率是() 1 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列 A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 5 5 答案:B 解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. 又b 所以 所以 2 2 2 1 — a - c .(a c)2 =4(a2 -c2 、a =5c.所以 e = c 3 a ). 2.已知椭圆 a 线AB交y轴于点 A. ^3 2 答案:D 解析：对于椭圆 与+京=1(a >b >0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BF _L x轴，直 P.若AP =2PB,则椭

2、圆的离心率是() B. -^2 2 AP C. = 2PB,则 OA =20F , 10 a=2c. e =1 2 . 3.已知椭圆 2 .2 a b a = 1(a Ab >0)的左、右焦点分别为 R(—c.0)、F2(c.0).若椭圆上存在 sin/PFF? 答案：(.2 -1 1) sin PER .则该椭圆的离心率的取值范围为 解析：因为在△ PF1 F2中，由正弦定理得 PF2 PF1 则由已知，得 用2 r IPF1 r sin PF1F2 sin PF2F1 即a| PF1 |=c| PF2. 由椭圆的定义知| PF1

3、|+| PF2|=2a, 贝uc| PF2|+| PF2|=2a,即 | PF2| =-20^. a c a 2 _ 2 _ c 2c-a 0 由椭圆的几何性质知| PF2 | J2—1. 又e50 1).故椭圆的离心率e『J2—11). 2 2 4.椭圆士 + ； =1的左、右焦点分别为F1、 F2 .点P在椭圆上，若| PF1 |=4,则 9 2 | PF2|= : NF1PF2 的大小为 . 答案:2 120 解析：= a2 =9b2 =2. • • c = .

4、 a2 - b2 =, 9 - 2 = 7 •••| F1F21 ^2,7. 又| PFi|=4,| PFi|+| PF2|=2a=6, •I PF2|=2. 又由余弦定理 得cos. F1PF2 22 42 一(2.7)2 2 2 4 ••• NF1PF2 =120,，故应填 2,120. 5.已知椭圆《+%=1(a >b>0)的离心率e=H3 .连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a b 2 积为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点A勺坐标为(-a,0). ①若|AB| =承求直线।的倾斜角； 5 ②若点Q(

5、0 .y。)在线段ABW垂直平分线上 ,且QA QB =4.求y0的值. 解：(1)由 e = c a 冬.得3a2 =4c2.再由 c2 = a2 —b2.解得 a=2b. 由|AB| =4^得正=幺5 5 14k 5 2 1 4k 4、1 k2 2 1 4k 由题意可知 2 M 2aM 2b =4.即ab=2. a = 2b 解方程组 a 得a=2,b=1. ab = 2. 所以椭圆的方程为 $-y2=1. 4 (2)①由(1)可知点A勺坐标是(-2,0).设点B的坐标为(x1 .y1).直线l的斜率为k. 则直线l的方程为y=k(x+2).

6、 土y = k(x 2). 于是A,B两点的坐标满足方程组 2 2 2 消去y并整理，得 冷 y :1’ (1 4k2)x2 16k2x (16k2 -4) = 0. 2 2 由-2x1 =16k -24 .得 x1 = 2~8k2 .从而 y1 = 4k 2 . 1 4k2 1 4k2 1 4k2 所以 |AB| = J(-2 -2~8k2)2 +(-4k 2) . 1 4k2 1 4k2 整理得 32k4 -9k2 -23 = 0 (k2 -1)(32k2 +23) =0.解得 k =1. 所以直线l的倾斜角为亍或会 ②设线段AB勺中点为M,由①得M勺坐标为 / 8

7、k2 2k 、 (-_ 2T~2 ~ 2—.). 14k 14k 以下分两种情况： （i ） 2=0时，点B的坐吗（2,0）,线段AB［勺垂直平分线为y轴, 于是 QA =（-2 .-y） QB =（2 .-y。）. 由 QA QB =4,得 y0 = 2 J2 . （ii ）当k 0时，线段ABI勺垂直平分线方程为 2k 2 1 4k2 -x件) 令 x=0,解得 y = ——6k—. T 3 ^QA^(-2.-yo) QB =(xiy-yo). QA QB = -2xi - y0( yi - y) = ^8^ F(七 14k 14k 14k 4(1

8、6k4 15k2 -1) 2 2 — 4 (1 4k2)2 整理得7k2 =2.故k = 土平. 所以y0 = 22/4 . yo 5 综上 y。=-2.2 或 y0 =一"4. 5 课后作业巩固提升 见课后作业A 题组一椭圆的离心率问题 2 v2 1.椭圆 5+方=1（a Ab >0）的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点 a b 足线段AP勺垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 （） B. (0 2] D.[2 1) A. (0 负 C.[ .2 -1 1) 答案:D 解析:|AF| =a-—c = b-.而|PF| Ea+c.

9、c c 所以a c-- c 即 2e2 +e-1 之0.解得 12 0.n>0）的右焦点与抛物线 y =8x的焦点相同 m n ,离心率为2 .则 此椭圆的方程为 ：) 2

10、■ .2 A.工上=1 12 16 2 2 C.Y E=1 48 64 答案:B 2 2 B.2 E = 1 16 12 2 2 D.工上二1 64 48 解析：由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由e = 2 .可得m=4, n2 = m2 — c2 =12 .故选B. 题组二椭圆的定义 4.设幅椭圆 A.4 C.8 答案:D 2 2 三+上=1上的点.若F1.F2是椭圆的两个焦点，则| PF1I+I 25 16 B.5 PF2I等于（） D.10 解析：因为a=5,所以| PF11+| PF2 |=2a=10. 5.设直线l :2x+

11、y-2=0与椭圆 + =1的交点为A、巳点「是椭圆上的动点 ,则使△ PA的积 为3的点P的个数为（） B.2 C.3 D.4 A.1 答案:D 解析：联立方程组 2x y -2 x2 =0,+击…日 x = 0 消去y整理解得：］ y =2 X = 1 或 |AB| y = 0 结合图象知P的个数为4. 题组三椭圆的综合应用 6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 厚.且Gk一点到G的两个焦点的距 答案：x2 36 解析：e = 离之和为12,则椭圆G勺方程为 r1 2 冬.2a = 12 .a = 6,b=3,

12、则所求椭圆方程为 工+夫=1. 2 36 9 2 I ： 7 .已知F1、F2是椭圆C：xT+y7 = 1（a>b>0）的两个焦点,P为椭圆C上一点，且PF1，PF2. a b 若^ PF1F2的面积为9,则b=^^_ 答案：3 I IPF1 卜;IPF2 =2a. 解析：依题意，有 PF1 MPF2 1=18.可得 4c2+36 =4a2 .即 a2 — C2 =9.，b=3. PF1 2 PF2 2 = 4c2 . 2 2 8 .在平面直角坐标系 xOy中.A A-B1 -B2为椭圆 七+ X2=1（aAbA0）的四个顶点，F为其 a b 右焦点，直线A1B

13、2与直线BiF相交于点T,线段OTT椭圆白^交点 擀为线段OT勺中点，则该椭 圆的离心率为 . 答案：2,7-5 解析：直线AB2的方程为：△+2=1; -a b 直线BF的方程为：/二 则。冲点M ( ac b(a c) a - c 2(a -c) =1;二者联立解得点T (Nac b(a+c)) a-c a -c 2 2 )在椭圆 X2+-y2-=1(a>b>0)上, a b c2 . (a c)2 2 2 (a -c)2 4(a -c)2 解得 e =2、7 -5. 2 9.已知椭圆C: x- 2 , 2 2-3 =1 c 10ac -3a =

14、0 e 10e-3=0, 2 + y2 = 1的两焦点为F1尸2 .点P(x0 .y。)满足0 <与十y； < 1 .则 I PFi|+| PF2I的取值范围为，直线x2x + yoy =1与椭圆c的公共点个数为 — 答案：［2 ,2、, 2) 0 解析：延长 PR 交椭圆 C于点 M,故| FRI <| PFi|+| PF2|<| MFi|+| MF2|=2a, 即 2 •汩 PFi|+| PF2I ：二2、,2 ; 当y =0时.0

15、线-0- + y0y =1为y = 2-.代入+ y2 =1中有 2 y0 2 2 借 y2)x2 -2X0X 2 _ 2y2 -01 2 =4x2 -4(22L y：)(2 -2y2) 2 x0 2 =8(寸 y0 -1) <0 ，直线与椭圆无交点. 10.已知邱椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且 BF =2FD -则椭圆C的离心率为 —— 答案：逝 3 解析：如图，不妨设B(0,b)为上顶点，F(c,0)为右焦点， 设 D(x,y). 由 BF = 2FD ,#(c,-b)=2(x- x =3c 即卜=2(X-C).解

16、得 2 D(3c .b). (七=2y. * = 3 <2 2) 2 由BF=2FD.可得|FD| =2|BF| =2.① 2 2 又由椭圆第二定义知，| FD | =(a_ —3c) e = (a_ —3c)，c .② 由①②解得a2 =3c2 .即e2 =1 e =工3. 3 3 2 v2 B1AB2 A2 11.如图，椭圆C：七+4=1的顶点为AA2B.B2、焦点为F1,F2.|A1B1| a b =2SBiFiB2F2 . ⑴求椭圆C勺方程； , (2)设n为过原点的直线-J■餐与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,| OP |=1.是 否存

17、在上述直线l使OA OB = 0成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由| 解：(1)由| AB1| ="知 a2+b2 =7.① 由 S|_B1AB2A2 =2S_BiFi&F2 知 a=2c,② 一 .2 2 2 _ 又b =a -c . ③ 由①②③，解得a2 =4.b2 =3 .故椭圆C勺方程为x2 +y~ =1. 4-3―4 (2)设A,B两点的坐标分别为(X, .%)

18、y2 = 0. m । =1 即 ..qk^ 由 OA OB 将y=kx+m代入椭圆方程，得 (3 4k2)x2 8kmx (4m2 -12) =0 由求根公式可得x1 +x2 = -8km d 3 4k2 / 2 4m —12 ⑤ x1 x2 一— 2 . 3 4k2 0 = x1x2 y1y2 =x1x2 (kx1 m)( kx2 m) 2 2 =(1 k )x1x2 km(x, x2) m . 将④⑤代入上式并化简得 2 2 _ _ 2 2 2 _ 2 一… (1 +k2)(4m2 -12) —8k2m2 +m2(3+4k2) = 0.⑥ 将m2 =1+k

19、2代入⑥并化简得 —5(k2+1) = 0 .矛盾I 即此时直线l不存在. ②当l垂直于x轴时，满足| OP |=1的直线l的方程为x=1或x=-1, 2) (-1-f). 5=0； 4 则A,B两点的坐标为(1.3).(1,—贞或(-1 =(i 2)。 T T 当x=1 时 OA OB 当x=-1 时 OA OB =(-1 3) (-1 -3 ) - -5 : 0 2 2 4 ，此时直线l 存咛. 综上可知，使oa Ob =o成立的直线i不存在 । 12.如图，已知椭圆 W+当=1(a>b>0)过点(1.虐).离心率为 球.左、右焦点分别为F1、 a b 2 2

20、 F2 .点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为 A E和C . D .O为坐标原点 (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线PF1 ,PF 2的斜率分别为k1,k 2 . (i )证明：1 —3 =2. k1 k2 (ii )问直线l上是否存在点P,使得直线OA .OB .OC OD的斜率kOA, kOB ,kOC ,kOD满足 koA+ koB+koC +koD =0?若存在,求出所有满足条件的点 P的坐标；存不存在,说明理由 解：(1)因为椭圆过点(1鸟)e二堂. 所以 J2 』=1 c =_2 . a 2b a

21、2 P 2 -2 2 乂 a = b c . 所以 a = . 2 b =1 c=i. 2 故所求椭圆的标准方程为2• y2 =1. 2 ， (2)( i )证明：方法一：由于F1(-1 .0) ,F 2(1.0) .PF1, PF2的斜率分别为 上， 所以 k1 = k2 k1 = 0 k2 = 0. k1, k2 .且点P不在x轴 又直线PF〔 .PF2的方程分别为y =k1(x+1).y =kz(x—1). _ kL_kg x 一 k . k 联立方程解得 2 1 、，2kk y=『 所以 P(k_Jk2 2kb). k2 - k1 k2 - k1 由

22、于点P在直线x+y=2上， 所以 k1 k2 2k1k2 =2. k2 - k1 因此 2kk 3k1 -k2 =0 即；1—R =2.结论成立. ( k2 方法一■：设 P(x0 .y0).则 k1 = -k2 = ~. % 1 x0 -1 因为点P不在x轴上，所以y 0 . 又 xO , yO = 2 所以 1 3 _ x0 1 3(x0 -1) 4-2x0 =2yo k1 k2 y y y y 因此结论成立. (ii )设 A(Xa (a) B(Xb Nb) C(Xc Nc) . D(Xd —)1 联立直线PFi与椭圆的方程得 y = k1(x 1). x2

23、 2 y2 =1 化简得(2k12 1)x2 4k12x 2k；-2 =0 因止匕xA - xB 2 2 4kl2 2k2 - 2 2k2 1 XaXb _ 2k12 1 由于OA,OB勺斜率存在， 所以xA # 0.xB # 0 .因此k； 001. 因此kOA kOB二也上二处」.k1(XB 1) Xa Xb .2ki ki xA—

24、xB =((2 - XAXB Xa 4k12 XB 2k12 - 2 2k1 2k2 ki2 -1 相似地，可以得到 Xc #0.XD =0.k2 00.1. k0c +kOD = 故 kOA kOB kOC kOD - -2( , 2 1 / , 2 2 / k1 -1 k2 -1 _ 2 k1k2 - k k1 k2 - k2 二 (k12 -1)(k| -1) _ 2(kk -1)(k1 k2) 一 一 (k12 -1)(k2 -1). 若 koA +%b +koc +koD = 0.须有 kI + k2 = 0 或卜水2 = 1. ①当k1 +k2 = 0时，结合(i )的结论，可得k2 = —2 ,所以解得点P的坐标为(0,2)； ②当kk =1时，结合(i )的结论，解得k2 =3或k2 =—1(此日k[ 二 —1 .不满足4#k2.舍去), 此时直线CD勺方程为y=3(X-1),联立方程X+y=2得x =-5 .y = 3 . 4」4 因此P(5 3). 4 4 综上所述，满足条彳^的点P的坐标分别为(0 .2).(5金)| 4 4