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1、第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
强化训练
1 .给出命题：p：3>1, q： 4w {2,3},则在下列三个复合命题：" p且q” “ p或q” “非p”中,真命题 的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
解析：P为真,q为假，故" P且q"为假，“ P或q”为真，“非P”为假,所以选B.
2 .下列命题中的假命题是()
x 1
A. -x R 2x 0
B. -x N (x -1)2 0
C. x Rlg xo < 1
D. Rt an Xo =2
答案:B
解析：对于斑项，当x=1时(x —1)2 =0 .故选B.
2
3 .已知
2、命题p:女0 W R使Xo +2Xo =3 .则「p是 ^
答案：-x R x2 2x = 3
解析：特称命题的否定是全称命题 .
4 .命题”^•任何xWR| x-2|+| x-4|>3”的否定是 ^
答案：存在 x0WR,| x0 -2 |+| x0 -4 | <3
解析：全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词”存在"，并给结论否定 .
5 .已知ab #0 .求证：a+b=1的充要条件是a3 +b3 + ab- a2 -b2 =0.
证明：必要性：
. a+b=1,iPb=1-a,
a3 b3 ab - a2 -b2 ; a3 (1 - a)3 a(1
3、- a) - a2 -(1 - a)2 = 0 .
充分性：「a3 +b3 +ab — a2 —b2 = 0.
2 2 2 2 _
••• (a b)(a -ab b ) - (a -ab • b ) = 0
即(a2 -ab b2)(a b -1) =0. (*)
又 ab #0.即 a#0.且 b00.
a2 -ab+b2 =(a —g)2 +34-。0 .要使(*)式成立，只有 a+b=1.
综上可知，当ab #0时，a+b=1的充要条件是a3 + b3 +ab — a2 —b2 = 0.
见课后作业A
题组一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1 .若命题p: 2m
4、—1(mw Z)是奇数，命题q: 2n+1(nw Z)是偶数，则下列说法正确的是()
A.pVq为真 B.pAq为真
C.「p为真 D. 「q为假
答案：A
2 .由下列命题构成的“ pvq“，“ pA q”均为真命题的是()
A. p:菱形是正方形，q:正方形是菱形
B. p：2是偶数，q：2不是质数
C.p:15是质数，q:4是12的约数
D.p： a {a, b, c}, q：{ a} {a, b, c}
答案:D
题组二 全(特)称命题及其真假判断
3 .命题p:若a .b w R则| a|+| b|>i是| a+b|>l的充分条件但不是必要条件，命题q:函数
5、
y = J|x—1 I—2的定义域是(*,—1] = [3./).则下列说法正确的是()
A.pV q假 B. pA qM
C.p真，q假 D.p假，q真
答案:D
4 .若命题p: vxeR .ax2 +4x +a > -2x2 +1是真命题，则实数a的取值范围是()
A. a < 一3或 a >2 B. a 之 2
D.-2< a<2
C.a>-2
答案:B
5.若对Vx w R.kx2-kx—1 <0恒成立，则k的取值范围是()
A. -4 < k < 0
C. -4 ：： k < 0
B. -4 < k :二 0
D.-4< k<0
答案:C
题组三 全
6、(特)称命题的综合应用
x为非负实数；q:奇函数的图象一定关于原点对称 ，则假
6 .给出两个命题：p:| x|= x的充要条件是 命题是()
D.
B. p且q
-p或q
A. p或 q
C. 一p 且 q
答案:C
7 .下列四个命题中：
①存在x W(0 .依).使不等式2x <3x成立
②不存在xW(0 1)使不等式log 2x
7、数函数丫=2*与丫=3、的图象，知”存在*=1W(0,收).使不等式2x<3x成立"，故
①正确；同样由y =2x与y=log 2x的图象，知”任意的*"0.2)使不等式啕2*<2、成立”， 故③正确，选择A.
8 .令p( x) = ax2 +2x +1 > 0 若对Vx w R p(x) ”是真命题，则实数a的取值范围是 .
答案：a>1
解析：当a=0时，不等式变为2x+1>0,对Vx= R, p(x)不是真命题；当a>0时，应有△ =4—4a <0.
解得a>1;当a<0时,对Vx w R p(x)不是真命题.综上得，a的取值范围是a>1.
9 .下列三个特称命题：(1)有
8、一个实数x,使x2 +4x+4=0成立;(2)存在一个平面与不平行的两 条直线都垂直;(3)有些函数既是奇函数又是偶函数.其中真命题的个数为 ^
答案：2
解析：(1)(3)为真,(2)为假.
10 .若VxWRf( x)= (a2 -1) x是单调减函数，则a的取值范围是 ^
答案：(- .2 .-1) - (1 a 2)
11 .写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) p： Vm^R方程x2 +x—m=0必有实根；
(2) q：三Xo w R 使得 x2 +x。+1 W 0.
解：(1)「p :三mwR使方程x2 +x—m = 0无实数根；真命题.
(2)「q : Vx w R使得x2十x十1 a 0 ;真命题.
2 2
12.已知命题p:|4- x| w6 .q： x —2x+1—a之0(a a0),若「p是q的充分不必要条件，求 a的
取值范围.
解：「p ：|4 —x |>6 .解得 x >10或x < —2 .
记 A={x| x>10 或 x<-2}, q: x2 一 2x+1 - a2 之 0.解得 x21+a 或 x W 1- a,记 B={x| x 1+a 或
x m 1 二a}.
而一p= q q =/ -p
1 -a - _2 I
・•・A,B,即」1+aE10.
0 二 a _3.
3
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