高考数学人教A版理科配套题库【第四章】三角函数、解三角形 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

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1、 精品资料 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 一、选择题 1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　) A．关于点对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin，因为f＝0，所以函数图像关于点中心对称，故选A. 答案 A 2.要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ） A. 向左平移1个单位

2、 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 解析 因为,所以将向左平移个单位,故选C. 答案 C 3. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 (　　)． A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin 解析　由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f

3、(x)＝sin，则f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，故选D. 答案　D 4．将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 (　　)． A. B. C. D. 解析　将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为. 答案　C 5． 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0

4、(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为 (　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　由题意可得，函数的初相位是，排除B，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故选C. 答案　C 6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 解

5、析 由函数图像知A＝10，＝－＝. ∴T＝＝，∴ω＝100π. ∴I＝10sin(100πt＋φ)． 又∵点在图像上， ∴10＝10sin ∴＋φ＝，∴φ＝， ∴I＝10sin . 当t＝时，I＝10sin ＝－5. 答案 A 二、填空题 7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，则ω＝________. 解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为2，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝＝2，∴T＝4，∴ω＝＝. 答案 8．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的

6、图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________． 解析　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围是. 答案　 9．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的值为________． 解析　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0时，有－≤x≤－，此时函数单调递增，若是f(x)的一个单调递增区间，则必有 解得故φ＝. 答案　 10．在函数

7、f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最大值，当x＝时有最小值－，若φ∈，则函数解析式f(x)＝________. 解析　首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小值－，所以T＝2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f(x)＝sin. 答案　sin 三、解答题 11．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x. (1)将f(x)的图像向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图像，求g(x)的解析式； (2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间． 解 (1)依题意f(x)＝sin2x＋2 ＝sin

8、2x＋cos2x＋1 ＝2sin＋1， 将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数f1(x)＝2sin＋1＝2sin2x＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1. (2)函数f(x)的最小正周期为T＝π， 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数的单调递增区间为(k∈Z)． 12．已知向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函数f(x)＝mn的最大值为6. (1)求A； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩

9、短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域． 解　(1)f(x)＝mn＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A＝A sin. 因为A＞0，由题意知A＝6. (2)由(1)知f(x)＝6sin. 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到 y＝6sin＝6sin的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象． 因此g(x)＝6sin. 因为x∈，所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域为[－3,6]． 13．已知函数f(x)＝2sin＋cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2

10、)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象， ∴g(x)＝f＝2sin[＋] ＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2. 当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1. 14．设函数f(x)＝cos＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式． 解　(1)f(x)＝cos＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x， 故f(x)的最小正周期为π. (2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故 ①当x∈时，x＋∈. 由于对任意x∈R，g＝g(x)， 从而g(x)＝g＝sin ＝sin(π＋2x)＝－sin 2x. ②当x∈时，x＋π∈. 从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x. 综合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式为 g(x)＝