高考数学文科总复习【第二章】函数、导数及其应用 第十三节

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1、 精品资料 1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次． 知识梳理 一、函数的导数与函数的单调性的关系 1．函数单调性的充分条件． 设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y

2、′<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________． 2．函数单调性的必要条件． 设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内________；如果函数y＝f(x)在这个区间内为________，那么在这个区间内________． 3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法． (1)确定函数f(x)的定义域． (2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根． (3)把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义的点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f(

3、x)的定义域分成若干个小区间． (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性[若f′(x)>0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在相应区间内为减函数]． 二、函数的极值 1．函数极值的定义． 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是____________，记作____________，x0是________． 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是______________，记作_________

4、_____，x0是极小值点．极大值与极小值统称为________． 2.判别f(x0)是极大值、极小值的方法． 若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0两侧满足“________”，那么x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值． 3．求可导函数f(x)的极值的步骤． (1)确定函数的定义区间，求导数________． (2)求方程________的根． (3)用函数的导数为0

5、的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成________，并列成表格．检查f′(x)在________________，如果________，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果________，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右______，那么f(x)在这个根处______． 三、函数的最大值与最小值 1．函数的最大值与最小值． 在闭区间上图象连续不断的函数f(x)在上________最大值与最小值． 2．利用导数求函数的最值的步骤． 设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间上图象连续不断，求函数f(x)在上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在

6、(a，b)内的________； (2)将f(x)的各________与________比较，得出函数f(x)在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 一、1.增函数　减函数　2.y′≥0　减函数　y′≤0 3．(2)f′(x)　f′(x)＝0 二、1.函数f(x)的一个极大值　y极大值＝f(x0)　极大值点　函数f(x)的一个极小值　y极小值＝f(x0)　极值 2．极大值点　极大值　左负右正 3．(1)f′(x)　(2)f′(x)＝0　(3)若干小开区间　方程根左右的值的符号　左正右负　左负右正　不改变符号　无极值 三、1.必有　2.(1)极值　(2)极

7、值　f(a)，f(b) 基础自测 1．函数y＝xsin x＋cos x在(π，3π)内的单调增区间为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D．(π，2π) 解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝xcos x. 当x∈(π，3π)时，要使y′＝xcos x＞0，只要cos x＞0，结合选项知，只有B满足． 答案：B 2. (2013四川南充二模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 解析：因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，所以，当x＜－

8、2时，f′(x)＜0，所以xf′(x)＞0；当－2＜x＜0，f′(x)＞0，所以xf′(x)＜0.故选C. 答案：C 3．(2012哈尔滨三中月考)函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________． [来源:] 解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax－5，∴f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1.如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3.于是满足条件的a∈(－3,1)． 答案：(－3,1) 4．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝______处取得极小值．

9、[来源:] 答案：2 [来源:] 1．(2012陕西卷)设函数f(x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，x<－1时，f′(x)<0，f(x)＝xex为减函数；x>－1时，f′(x)>0，f(x)＝xex为增函数，所以x＝－1为f(x)的极小值点．故选D. 答案：D 2．(2013北京卷)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在

10、点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 解析：(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x， 得f′(x)＝x(2＋cos x)， 因为y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切． 所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)， 则a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f′(x)＝0，得x＝0. 所以当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增． 当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减． 所以f(x)的最小值为f(0)＝1. 由于函数f(

11、x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调， 所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点． 所以b的取值范围是(1，＋∞)． 1．已知函数f(x)＝ (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的单调区间； (3)若关于x的方程f(x)＝k恰有三个不同的根，求实数k的取值范围． 解析：(1)当x>0时，－x<0， ∵f(x)＝xln x，f(－x)＝－xln x， ∴f(－x)＝－f(x)， 当x<0时，－x>0， ∵f(x)＝xln(－x)，f(－x)＝－xln(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (

12、2)当x>0时，f(x)＝xln x， f′(x)＝ln x＋x＝ln x＋1， 令f′(x)<0，得 00，得 x>， ∴当x∈时，f(x)是增函数， 又 f(x)是奇函数，∴当x∈时，f(x)是减函数， x∈时，f(x)是增函数， ∴f(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为，. (3)考查f(x)的图象变化，由(2)知， 当x∈时，f(x)由0递减到f＝－， 当x∈时，f(x)由f递增到＋∞， 当x∈时，f(x)由－∞递增到f＝， 当x∈时，f(x)由f递减到0， ∵方程f(x)＝k恰有三个不同的根，

13、∴f(x)的图象与y＝k的图象应有3个不同的交点， ∴－

14、x2－x＋1， 关于x的方程f(x)＝kex恰有两个不同的实根， 即x2－x＋1＝kex有两个不同的实根，也就是k＝e－x(x2－x＋1)有两个不同的实根． 令g(x)＝e－x(x2－x＋1)， 2)e-x= 则g′(x)＝(2x－1)e－x－(x2－x＋1)e－x＝－(x2－3x＋ －(x－1)(x－2)e－x 由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝2. 所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，1)上为减函数； 当x∈(1,2)时，g′(x)＞0，g(x)在(1,2)上为增函数； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上为减函数； 所以，当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝，当x＝2时函数取得极大值g(2)＝. 函数y＝k与y＝g(x)的图象的大致形状如上， 由图象可知，当k＝和k＝时，关于x的方程f(x)＝kex恰有两个不同的实根．