高考数学浙江理科一轮【第三章】导数及其应用 第三章 3.1

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1、 精品资料 §3.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1． 角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2

2、． 弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 3． 任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号

3、sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4． 三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线 　 (Ⅰ)　　　　　(Ⅱ) 　 (Ⅲ)　　　　　(Ⅳ) 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角． (　

4、×　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然． (　×　) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等． (　√　) (4)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限． (　√　) (5)α∈(0，)，则tan α>α>sin α. (　√　) (6)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. (　√　) 2． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　) A．2kπ＋45° (k∈Z) B．k·360&#

5、176;＋π (k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z) 答案　C 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 3． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 (　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　设此扇形的半径为r，弧长为l， 则解得或 从而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 4． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，

6、则y＝________. 答案　－8 解析　因为sin θ＝＝－， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 5． 函数y＝的定义域为________． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x∈(k∈Z)． 题型一　角及其表示 例1　(1)终边在直线y＝x上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________． 思维启迪　(1)利用终边相同的角的集合进行表示，注意对结果进行合并； (2)根据α的范围求2α的范围，再确定终边位置

7、． 答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z} (2)第一、二象限或y轴的非负半轴上． 解析　(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是， ∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}． (2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z， ∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z. ∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上． 思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z

8、}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限． 　(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是 (　　) A．第一象限中的角一定是锐角 B．终边相同的角必相等 C．相等的角终边一定相同 D．不相等的角终边一定不同 (2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. 答案　(1)C　(2)－675°或－315° 解析　(1)第一象限角是满足2kπ<α<2

9、kπ＋，k∈Z的角，当k≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2kπ＋α，k∈Z；当k≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同． (2)由终边相同的角关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°. 题型二　三角函数的概念 例2　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于 (　　) A．－ B．－ C. D. (2)若sin αtan α<

10、0，且<0，则角α是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 思维启迪　(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的 直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求 值． (2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断． 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号

11、，从而α为第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角，故α为第三象限角． 思维升华　(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r. (2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 　(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为 (　　) A．－ B． C．－ D． (2)若θ是第二象限角，则_______

12、_0.(判断大小) 答案　(1)B　(2)< 解析　(1)∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m>0，∴＝，即m＝. (2)∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0,0<sin θ<1， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，∴<0. 题型三　扇形的弧长、面积公式的应用 例3　已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维

13、启迪　(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数． 解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)， S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50 (cm2)． (2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝α·R2＝α·2 ＝α·＝·≤. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值. 思维升华　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式

14、结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2. 　已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________． 答案　1 cm　2　1 cm2 解析　设扇形圆心角为α，半径为r，则 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴当r＝1时(S扇形)max＝1，此时|α|＝2. 数形结合思想在三角函数中的应用 典例：(14分)(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；

15、(2)设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小． 思维启迪　(1)求定义域，就是求使3－4sin2x>0的x的范围．用三角函数线求解． (2)比较大小，可以从以下几个角度观察： ①θ是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定．②sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小． 规范解答 解　(1)∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<， ∴－<sin x<. [3分] 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x∈(k∈Z)．

16、 [6分] (2)∵θ是第二象限角， ∴＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z， ∴是第一或第三象限的角． [8分] (如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得： ①当是第一象限角时， sin ＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT， 从而得，cos <sin <tan ； [10分] ②当是第三象限角时， sin ＝EF，cos ＝OE，tan ＝CT， 得sin <cos <tan . [12分] 综上可得，当在第一象限时，cos &

17、lt;sin <tan ； 当在第三象限时，sin <cos <tan . [14分] 温馨提醒　(1)第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线．但用三角函数线更方便．(2)第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示．(3)本题易错点：①不能确定所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活.  方法与技巧 1． 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值． 2． 三角函数符号是重点，也是难点，在

18、理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3． 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 失误与防范 1． 注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2． 角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3． 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． A组　专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1． α＝k·180°＋45°(k∈Z)，

19、则α在 (　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 答案　A 解析　45°角在第一象限，角α和45°角终边相同或互为反向延长线，∴角α在第一或第三象限． 2． 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(　　) A． B． C． D．2 答案　C 解析　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r， 所以r＝α·r，∴α＝. 3． 角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于 (　　) A．

20、 B． C．－ D．－ 答案　B 解析　由三角函数的定义， 得sin α＝＝. 4． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 (　　) A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 答案　B 解析　在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A、C、D，故选B. 5． 给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还

21、是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

22、二、填空题 6． 设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos α＝m，则sin α的值为________． 答案　 解析　设P(m，)到原点O的距离为r， 则＝cos α＝m， ∴r＝2，sin α＝＝＝. 7． 已知角α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为________． 答案　π 解析　∵tan α＝＝＝－， 且sin >0，cos <0， ∴α在第四象限，由tan α＝－，得α的最小正值为π. 8． y＝ 的定义域为________． 答案　{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 解析　∵sin x≥，作直线y＝

23、交单位圆于A、B两点，连接OA、 OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围， 故满足条件的角α的集合为 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 三、解答题 9． 已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解　由题意，得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角． 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－； 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三

24、象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. 10．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解　设圆的半径为r cm，弧长为l cm， 则解得 ∴圆心角α＝＝2弧度． 如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度． ∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB＝2sin 1(cm)． B组　专项能力提升 (时间：30分钟) 1． 设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(　　) A．

25、M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案　B 解析　方法一　由于M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M⊆N. 方法二　由于集合M中，x＝×180°＋45°＝k×

26、90°＋45° ＝45°×(2k＋1)，2k＋1是奇数； 而集合N中，x＝×180°＋45°＝k×45°＋45°＝(k＋1)×45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N. 2． 已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为 (　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　B 解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<

27、0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1. 3． 函数y＝＋ 的定义域是__________________． 答案　(k∈Z) 解析　由题意知即 ∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 4． 已知扇形AOB的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， (1)由题意可得 解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝l·2r ≤()2＝×()2＝4，

28、 当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴r＝2，∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 5． 已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求终边所在的象限； (3)试判断tan sin cos 的符号． 解　(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为 {α|(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z}． (2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋<<kπ＋，k∈Z， 故终边在第二、四象限． (3)当在第二象限时，tan <0，sin >0，cos <0， 所以tan sin cos 取正号； 当在第四象限时，tan <0，sin <0，cos >0， 所以tan sin cos 也取正号． 因此，tan sin cos 取正号．