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1、 精品资料
第五节 数列的综合问题
考点一
等差、等比数列的综合问题
[例1] 在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．
(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：此时对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．
[自主解答] (1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(a
2、n－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.
又b1＝a2－a1＝1，q≠0，
所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)．
将以上各式相加，得
an－a1＝1＋q＋q2＋…＋qn－2(n≥2)．
所以当n≥2时，有an＝
上式对n＝1也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝
(3)由(2)，得当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.
由a3是a6与a9的等差中项，即2a3＝a6＋a9，
可得2q2＝q5＋q8，
由q≠0，得q6＋q3－2＝0，
整理，得(
3、q3)2＋q3－2＝0，
解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．
于是q＝－.
而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋，
所以an＋3＋an＋6＝＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＝2an.
所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．
【方法规律】
解决等差、等比数列的综合问题的方法
对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
(1
4、)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，
∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.
(2)由＋＋…＋＝an＋1，得
当n≥2时，＋＋…＋＝an.
两式相减得：n≥2时，＝an＋1－an＝2.
∴cn＝2bn＝2·3
5、n－1(n≥2)．
又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.
考点二
数列在实际问题中的应用
[例2] 某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨．
(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？
(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排
6、力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．
[自主解答] (1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，
依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，
所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(万吨)．
所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨．
(2)由已知得， 2012年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，
所以2012年至2020
7、年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列．
由题意得9×(1－p)8＜6，由于0<p<1，
所以1－p< ，
所以1－p<0.950 5，解得p>4.95%.
所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)．
【方法规律】
解决数列应用题应注意的问题
解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是Sn，特别是要弄清项数．
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以
8、后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d.
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d
＝－d
＝2an－2－d－d
…
9、
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3 000－d)－2d
＝n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意，am＝4 000，
即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
解得d＝＝.[来源:]
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.
高频考点
考点三 数列与函数、不等式的综合问题
1．数列与函数、 不等式的综合问题是每年高考的重点，多为解答题，难度偏大，属中高档题．
2．高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：[来源:]
(1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
(
10、2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
[例3] (2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.
[自主解答] (1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{
11、an}的通项公式为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，故
bn＝＝＝.
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－
＝
<＝.
数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略
(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性等解决问题．
(2)与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．
[来源:]
1．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＝－，且对于任意的n∈N*，有Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn＝n(n
12、∈N*)，记Tn＝＋＋＋…＋，若(n－1)2≤m(Tn－n－1)对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)设数列{an}的公比为q.
∵S1，S3，S2成等差数列，[来源:]
∴2S3＝S1＋S2，
∴2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，解得q＝－，
又a1＋a4＝a1(1＋q3)＝－，
∴a1＝－，∴an＝a1qn－1＝n.
(2)∵bn＝n，an＝n，
∴＝n·2n，
∴Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)
13、83;2n＋n·2n＋1，②
①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Tn＝－＝(n－1)·2n＋1＋2.
若(n－1)2≤m(Tn－n－1)对于n≥2恒成立，
则(n－1)2≤m[(n－1)·2n＋1＋2－n－1]，
(n－1)2≤m(n－1)·(2n＋1－1)，
∴m≥，[来源:]
令f(x)＝，
可判断f(x)在x∈[2，＋∞)上是减函数．
则f(n)＝的最大值为f(2)＝，
∴m≥.
故实数m的取值范围为.
——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
2种思想——函数思想与转化化归思想
(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．
(2)转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等．
3个注意点——数列与函数、不等式、解析几何相结合应 注意的问题
(1)数列与解析几何结合时注意递推．
(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．
高考数学复习：第五章 ：第五节 数列的综合问题突破热点题型
