精修版人教A版数学选修44：第1讲4柱坐标系与球坐标系简介【教学参考】

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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 四柱坐标系与球坐标系简介 课标解读 1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题. 1．柱坐标系 图1－4－1 如图1－4－1所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间

2、的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R. 2．球坐标系 图1－4－2 建立如图1－4－2所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)． 有序数组(r，φ，θ)叫做点P

3、的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)． 3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为 1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 【提示】　空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离． 2．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？ 【提示】　ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位

4、球面． 3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？ 【提示】　(1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组. 点的柱坐标与直角坐标互化 　(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标． (2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标． 【思路探究】　(1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求

5、出ρ，θ即可． (2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式求出x，y，z即可． 【自主解答】　(1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)， 则由解之得，ρ＝，θ＝. 因此，点M的柱坐标为(，，1)． (2)设N的直角坐标为(x，y，z)， 则由得 ∴因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)． 1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同． 　根据下列点的柱坐标，

6、分别求直角坐标： (1)(2，，3)；(2)(，，5)． 【解】　设点的直角坐标为(x，y，z)． (1) 因此所求点的直角坐标为(－，1,3)． (2) 故所求点的直角坐标为(1,1,5)． 将点的球坐标化为直角坐标 　已知点M的球坐标为(2，π，π)，求它的直角坐标． 【思路探究】　球坐标 直角坐标 【自主解答】　设点的直角坐标为(x，y，z)． 则 因此点M的直角坐标为(－1,1，－)． 1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0

7、≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算． 　若例2中“点M的球坐标改为M(3，π，π)”，试求点M的直角坐标． 【解】　设M的直角坐标为(x，y，z)． 则 ∴点M的直角坐标为(，－，－)． 空间点的直角坐标化为球坐标 　 图1－4－3 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图1－4－3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标． 【思路探究】　先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，

8、计算球坐标． 【自主解答】　点C1的直角坐标为(1,1，)． 设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得r＝＝＝2. 由z＝rcos φ，∴cos φ＝，φ＝ 又tan θ＝＝1，∴θ＝， 从而点C1的球坐标为(2，，) 1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，θ，φ. 2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误

9、． 　若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标． 【解】　易知C的直角坐标为(1,1,0)． 设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝＝＝. 又tan θ＝＝1， ∴θ＝. 因此点C的柱坐标为(，，0)． (2)由r＝＝＝. ∴cos φ＝＝0， ∴φ＝. 故点C的球坐标为(，，)． 柱坐标系、球坐标系的应用 　已知点P1的球坐标是P1(2，，)，P2的柱坐标是P2(，，1)，求|P1P2|. 【思路探究】　可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离． 【自主解答】

10、　设P1的直角坐标为P1(x1，y1，z1)， 则 ∴P1的直角坐标为(，，)． 设P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)， 则 ∴P2的直角坐标为(，，1)． ∴|P1P2|＝＝. 　柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决． 　在球坐标系中，求两点P(3，，)，Q(3，，)的距离． 【解】　将P、Q两点球坐标转化为直角坐标．设点P的直角坐标为(x，y，z)， 则 ∴P(，，)． 设点Q的直角坐标为(x，y，z)． 则 ∴点Q(－，，)． ∴|PQ|＝ ＝， 即P、Q两点间的距离为. (教材第17页思考1) 给定一个底面半径

11、为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置． 　(2013·长春检测)在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，π，)，则|OM|＝________. 【命题意图】　本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画． 【解析】　设点M的直角坐标为(x，y，z)． 由(ρ，θ，z)＝(2，π，)知 x＝ρcos θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝. 因此|OM|＝ ＝＝3. 【答案】　3 1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为(　　) A．(2,0,3)　　　　　　　B．(2，，0)

12、C．(，，3) D．(，，0) 【解析】　由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】　B 2．已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为(　　) A．(1,1,0) B．(1,0,1) C．(0,1,1) D．(1,1,1) 【解析】　∵x＝ρcos θ＝1·cos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1. ∴直角坐标为(1,0,1)，故选B. 【答案】　B 3．已知点A的球坐标为(3，，)，则点A的直角坐标为(　　) A．(3,0,0) B．(0,3,0) C．(0,0,3) D．(3,3,0) 【解析】　∵x＝3×sin &#

13、215;cos ＝0，y＝3×sin ×sin ＝3，z＝2×cos ＝0， ∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】　B 4．设点M的直角坐标为(1,1，)，则点M的柱坐标为________，球坐标为________． 【解析】　由坐标变换公式，可得ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝(点(1,1)在平面xOy的第一象限)， r＝＝＝2. 由rcos φ＝z＝， 得cos φ＝＝，φ＝. ∴点M的柱坐标为(，，)，球坐标为(2，，)． 【答案】　(，，)　(2，，) (时间40分钟，满分60分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．空

14、间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是(　　) A．(1，，2)　　　　　B．(2，，0) C．(3，，) D．(3，，) 【解析】　由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内． 【答案】　A 2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为(　　) A．(2,0,2) B．(2，π，2) C．(，0,2) D．(，π，2) 【解析】　设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0， ∴θ＝0，z＝2. ∴点M的柱坐标为(2,0,2)． 【答案】　A 3．在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤φ≤，0≤θ＜2π)表示

15、(　　) A．圆 B．半圆 C．球面 D．半球面 【解析】　设动点M的球坐标为(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ＜2π.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面． 【答案】　D 4．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是(　　) A．(1,0,0) B．(0,1,0) C．(0,0,1) D．(1，π，0) 【解析】　设M的球坐标为(r，φ，θ)， 则r＝＝1，θ＝0， 又cos φ＝＝1，∴φ＝0. 故点M的球坐标为(1,0,0)． 【答案】　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知点M的球坐标为(4，，)，则点M到

16、Oz轴的距离为________． 【解析】　设M的直角坐标为(x，y，z)， 则由(r，φ，θ)＝(4，，π)， 知x＝4sincosπ＝－2， y＝4sinsinπ＝2， z＝rcos φ＝4cos＝2. ∴点M的直角坐标为(－2,2,2)． 故点M到OZ轴的距离＝2. 【答案】　2 6．已知点M的球坐标为(4，，)，则它的直角坐标是________，它的柱坐标是________． 【解析】　设M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)． 则x＝rsin φcos θ＝4×sin ×cos ＝－2， y＝rsin φsin θ＝4

17、5;sin ×sin ＝2， z＝rcos φ＝4×cos ＝2. ∴点M的直角坐标为(－2,2,2)． 又解之得ρ＝2，θ＝，z＝2. ∴点M的柱坐标为(2，，2)． 【答案】　(－2,2,2)　(2，，2) 三、解答题(每小题10分，共30分) 7．已知点P的柱坐标为(，，5)，点B的球坐标为(，，)，求这两个点的直角坐标． 【解】　设点P的直角坐标为(x，y，z)， 则x＝cos ＝×＝1， y＝sin ＝1，z＝5. 设点B的直角坐标为(x，y，z)， 则x＝sin cos ＝××＝， y＝sin sin ＝&

18、#215;×＝， z＝cos ＝×＝. 所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为(，，)． 8．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积． 【解】　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r＝1，h＝2， ∴V＝Sh＝πr2h＝2π. 9．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80

19、6;，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标． 【解】　在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝π. 由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P的球坐标为(8 755，，)． 教师备选 10．已知在球坐标系Oxyz中，M(6，，)，N(6，，)，求|MN|. 【解】　法一　由题意知， |OM|＝|ON|＝6，∠MON＝， ∴△MON为等边三角形，∴|MN|＝6. 法二　设M点的直角坐标为(x，y，z) 则 故点M的直角坐标为(，，3)， 同理得点N的直角坐标为(，，－3)， ∴|MN|＝ ＝＝6. 最新精品资料