精修版人教A版数学选修44：第2讲2圆锥曲线的参数方程【教学参考】

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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 二圆锥曲线的参数方程 课标解读 1.了解双曲线、抛物线的参数方程． 2．理解椭圆的参数方程及其应用． 3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. 1．椭圆的参数方程 普通方程 参数方程 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 2.双曲线的参数方程 普通方程 参数方程 －＝1(a>0，b>0) (φ为参数) 3.抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数)． (2)参数t表示抛物

2、线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？ 【提示】　椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角． 2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 【提示】　sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π. 3．类比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的参数方程吗？ 【提示】　(p>0，t为参数，t∈R) 椭圆的参数方程及应用 　将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示

3、曲线的焦点坐标． 【思路探究】　根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质． 【自主解答】　由得 两式平方相加，得＋＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4. 因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)． 　椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上． 　若本例的参数方程为，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？ 【解】　将，化为 两式平方相加，得＋＝1. 其中a＝5，b＝3，c＝4. 所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆

4、，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4)． 　已知曲线C1：，(t为参数)，曲线C2：＋＝1. (1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值． 【思路探究】　(1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值． 【自主解答】　(1)由 得 ∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆． 曲线C2：＋＝1表示中心是坐

5、标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． 其参数方程为(θ为参数) (2)依题设，当t＝时，P(－4,4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)． 又C3为直线x－2y－7＝0， M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝，sin θ＝－时，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性． 2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到

6、直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值． 　(2013开封质检)已知点P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值． 【解】　因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点， 故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l：x＋2y＝0. 因此点P到直线l的距离 d＝＝. 所以，当sin(θ＋)＝1，即θ＝时，d取得最大值. 双曲线参数方程的应用 　求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值． 【思路探究】　设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．

7、 【自主解答】　由双曲线－＝1，得 两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d1和d2， 则d1d2＝ ＝＝(定值)． 　在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的应用． 　如图2－2－1，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1||PF2|＝|OP|2. 图2－2－1 【证明】　设P(sec φ，t

8、an φ)， ∵F1(－，0)，F2(，0)， ∴|PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝， |PF1||PF2|＝ ＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1||PF2|＝|OP|2. 抛物线的参数方程 　设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程． 【思路探究】　解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可． 【自主解答】　设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)， 当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，

9、 QF的方程为y＝－2t(x－)， 它们的交点M(x，y)由方程组 确定， 两式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－)， ∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)． 当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0. 1．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．

10、 　(2012天津高考)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________. 【解析】　根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E(－，)，F(，0)，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)． 【答案】　2 (教材第34页习题2.2，第5题) 已知椭圆＋＝1上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P、Q两点，O为椭圆的中心．求证：|OP||OQ|为定值． 　(2012徐州模

11、拟)如图2－2－2，已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点． 图2－2－2 求证：|OP||OQ|为定值． 【命题意图】　本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力． 【证明】　设M(2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B1(0，－1)，B2(0,1)． 则MB1的方程：y＋1＝x， 令y＝0，则x＝， 即|OP|＝||. MB2的方程：y－1＝x， ∴|OQ|＝||. ∴|OP||OQ|＝||||＝4. 因此|OP||OQ|＝4(定值). 1．参数方程，(θ为参数)化为普通方程为

12、(　　) A．x2＋＝1　　　　　B．x2＋＝1 C．y2＋＝1 D．y2＋＝1 【解析】　易知cos θ＝x，sin θ＝， ∴x2＋＝1，故选A. 【答案】　A 2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一部分 【解析】　由xcos θ＝a，∴cos θ＝， 代入y＝bcos θ，得xy＝ab， 又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】　D 3．(2013陕西高考)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________． 【解析】　将参数方程化为普通方程为y2＝

13、4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1,0)． 【答案】　(1,0) 4．(2012湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________. 【解析】　将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解． ∵消去参数t得2x＋y－3＝0. 又消去参数θ得＋＝1. 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝. 【答案】　 (时间40分钟，满分60分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．曲线C：，(φ为参数)的离心率

14、为(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. 【解析】　由题设，得＋＝1， ∴a2＝9，b2＝5，c2＝4， 因此e＝＝. 【答案】　A 2．参数方程，(α为参数)的普通方程是(　　) A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1 C．y2－x2＝1(1≤y≤) D．y2－x2＝1(|x|≤) 【解析】　因为x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1. 又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)， 所以y2－x2＝1. ∵－1≤sin α≤1，y＝， ∴1≤y≤. ∴普通方程为y2－x2＝1，y∈[1，]． 【答案】　C 3．点P(1,0)到曲线(

15、参数t∈R)上的点的最短距离为(　　) A．0 B．1 C. D．2 【解析】　d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2， 由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1. 【答案】　B 4．已知曲线，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是(　　) A．(3,4) B．(，2) C．(－3，－4) D．(，) 【解析】　由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝，又0≤θ≤π，则sin θ＝，cos θ＝， ∴x＝3cos θ＝3＝， y＝4sin θ＝4＝， 因此点P的坐标为(，)． 【答

16、案】　D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________． 【解析】　由 得点M的坐标为(1,2)． 直线OM的斜率k＝＝2. 【答案】　2 6．(2013江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________． 【解析】　化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 【答案】　ρcos2θ

17、－sin θ＝0 三、解答题(每小题10分，共30分) 7．(2013平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？ 图2－2－3 【解】　抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)． 设P(x，y)，则M是OP中点． ∴ ∴(t为参数)， 消去t得y＝x2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线． 8．(2012龙岩模拟)已知直线l的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆

18、C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长． 【解】　由题意知直线和椭圆方程可化为： x＋y－1＝0，① ＋y2＝1，② ①②联立，消去y得：5x2－8x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 设直线与椭圆交于A、B两点， 则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，(，－)， 则|AB|＝＝. 故所求的弦长为. 9．(2013漯河调研)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关

19、系； (2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 【解】　(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． (2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为 d＝ ＝ ＝cos(α＋)＋2，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为. 教师备选 10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

20、 【解】　设椭圆的参数方程是，其中，a>b>0,0≤θ<2π. 由e2＝＝＝1－()2可得＝＝即a＝2b. 设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d， 则d2＝x2＋(y－)2＝a2cos2θ＋(bsin θ－)2 ＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋ ＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋ ＝－3b2(sin θ＋)2＋4b2＋3， 如果>1即b<，即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝(b＋)2，由此得b＝－>，与b<矛盾． 因此必有≤1成立， 于是当sin θ＝－时，d2有最大值， 由题设得()2＝4b2＋3， 由此可得b＝1，a＝2. 所求椭圆的参数方程是 由sin θ＝－，cos θ＝可得，椭圆上的点(－，－)，点(，－)到点P的距离都是. 最新精品资料