新课标高三数学 一轮复习 第6篇 均值不等式学案 理

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1、 第八课时 均值不等式 课前预习案 考纲要求 1.利用均值不等式证明其他不等式 2.利用均值不等式求最值 基础知识梳理 1.几个重要不等式： ①当且仅当a = b时，“=”号成立； ②当且仅当a = b时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“相等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：。 2、函数图象及性质 (1)函数图象如图： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：，； 单调递减区间：， 预习自测 1.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ） A． B．4

2、 C． D．5 2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． ] 课堂探究案 典型例题 考点1 利用基本不等式、均值不等式求最值 【典例1】 (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________； (2)当x＞0时， f(x)＝的最大值为________． 【变式1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________． (2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________． 【变式2】已知，若实数满足，则 的

3、最小值是 . 考点2 利用基本不等式、均值不等式证明不等式 【典例2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【变式3】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. 考点3 解决恒成立问题 【典例3】若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 【变式4】已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 当堂检测 1.【20xx高考浙江文9】若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B.

4、 C.5 D.6 2. 【20xx高考陕西文10】小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （ ） A.a<v< B.v= C. <v< D.v= 3．【（20xx年高考福建理】下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4. 若实数满足，则的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C) (D) 5.的最小值为 。 6.已知且， 的最小值为

5、 . 7.求函数的极值为 。 8.若,且，则的最小值为 . 9.若，则中最大的是 . 10.设，求函数的最小值。 课后拓展案 A组全员必做题 1．“a＞b＞0”是“ab＜”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 (　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 3．若0＜x＜1，则f(

6、x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为 (　　) A. B. C. D. 4．有一个面积为1 m2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是 (　　) A．4.7 m B．4.8 m C．4.9 m D．5 m 5．已知不等式(x＋y)≥9，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a取最小值为 (　　) A．2 B．4 C．6 D．8 6、已知，则的最小值为________。 7．函数y＝(x≠0)的最大值为________，此时x的值为____．

7、B组提高选做题 1．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为______． 2．西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－(x＞0)．已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%) (1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数； (2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，

8、最大利润为多少？ 参考答案 预习自测 1.C 2.D 典型例题 【典例1】（1）；（2）1 【变式1】（1）3；（2） 【变式2】7 【典例2】证明：∵，，， ∴，同理，． ∴， ∴．当且仅当时等号成立． 【变式3】证明：∵， ∴．当且仅当时等号成立． 【典例3】 【变式4】10 当堂检测 1.C 2.A 3.C 4.B 5. 6.9 7.25，1 8. 9. 10.解：， 当且仅当，即时取等号． A组全员必做题 1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.64 7.； B组提高选做题 1.8 2.解：（1）由题意，羊皮手套成本为万元，年销售收入为， 年利润为． 又，∴． （2）由， 当且仅当，即时，有最大值． ∴当广告费投入为4万元时，年利润最大为万元．