精修版人教A版数学选修44：第2讲1参数方程和普通方程的互化第2课时【教学参考】

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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 第2课时　参数方程和普通方程的互化 课标解读 1.了解参数方程化为普通方程的意义． 2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用． 3．掌握参数方程化为普通方程的方法. 　参数方程与普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x

2、，y的取值范围保持一致． 　普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】　不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. 参数方程化为普通方程 　在方程(a，b为正常数)中， (1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？ 【思路探究】　(1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状． 【自主解答】　方程(a，b是正常数)， (1)①sin θ－②cos

3、θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线． (2)(ⅰ)当t为非零常数时， 原方程组为 ③2＋④2得＋＝1， 即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆． (ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)． 1．消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－

4、e－x)2＝4，()2＋()2＝1等． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线． 　将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状： (1)(θ为参数，0≤θ≤π)； (2)(θ为参数)； (3)(a，b为大于零的常数，t为参数)． 【解】　(1)将两式平方相加，得x2＋y2＝4. ∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2. 所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分． (2)由得 即 ∴x－y＝0. ∵

5、0≤sin22θ≤1， ∴≤1－sin22θ≤1. 所以方程x－y＝0(≤x≤1)表示一条线段． (3)∵x＝(t＋)， ∴t>0时，x∈[a，＋∞)，t<0时，x∈(－∞，－a]． 由x＝(t＋)， 两边平方可得x2＝(t2＋2＋)① 由y＝(t－)两边平方可得 y2＝(t2－2＋)② ①－②并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线． 普通方程化为参数方程 　曲线的普通方程为＋＝1，写出它的参数方程． 【思路探究】　联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】　设＝cos θ

6、，＝sin θ， 则(θ为参数)，即为所求的参数方程． 1．将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为 (θ为参数)； (2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)． 2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致． 　设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 【解析】　把y＝tx代入x2＋

7、y2－4y＝0得x＝，y＝， ∴参数方程为(t为参数)． 【答案】　(t为参数) 利用参数思想解题 　已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】　设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决． 【自主解答】　由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为(θ∈[0,2π))． (1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝，且φ的终边过点(4,3)． ∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5， ∴

8、－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1. (2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16. 1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲

9、线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具． 2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数． 3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题． (2)注意运用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)． 　若本例条件不变，如何求的取值范围？ 【解】　由于(θ∈[0,2π)

10、)， ∴k＝＝. ∴sin θ－kcos θ＝k－3 即sin(θ＋φ)＝k－3.(φ由tan φ＝－k确定) ∴sin(θ＋φ)＝. 依题意，得||≤1， ∴()2≤1，解得k≥. 所以的取值范围是[，＋∞)． (教材第26页习题2.1第4题) 把参数方程(φ为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线． 　(2013广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________． 【命题意图】　本题考查了极坐标方程、普通方程和参数方程的互化．利用普通方程过渡，三种方程的互化体现了转化与化归思想

11、的应用，同时也考查函数与方程思想的应用，这个过程用计算串联起来，考查考生的运算求解能力． 【解析】　ρ＝2cos θ化为普通方程为＝，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(α为参数)，即(α为参数)． 【答案】　(α为参数) 1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　) A．y＝x－2　　　　　　B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 【解析】　消去sin2θ，得x＝2＋y， 又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3. 【答案】　C 2．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】　D

12、3．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为(　　) A.(θ为参数) B.(θ为参数) C.(θ为参数) D.(θ为参数) 【解析】　由x＝cos θ，y＋1＝sin θ知参数方程为 (θ为参数)．故选D. 【答案】　D 4．(2013郑州模拟)在直角坐标系中，圆C的参数方程为(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为________． 【解析】　消去α得圆的方程为x2＋(y－2)2＝4. 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 【答案】　ρ＝4sin θ

13、 (时间40分钟，满分60分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．曲线(θ为参数)的方程等价于(　　) A．x＝　　　　　B．y＝ C．y＝ D．x2＋y2＝1 【解析】　由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A. 【答案】　A 2．参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是(　　) A．线段 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线 【解析】　消去t，得x－3y－5＝0. ∵0≤t≤5， ∴－1≤y≤24. 【答案】　A 3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为(　　) A. B. C. D. 【解析】　由x2＋

14、y－1＝0，知x∈R，y≤1. 排除A、C、D，只有B符合． 【答案】　B 4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)， 故x＋y的最大值为2.故选B. 【答案】　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________． 【解析】　设M(x，y)是曲线上任意一点， ∴|OM|＝ ＝ ＝(φ由tan φ＝－确定) 当sin(θ＋φ)＝1时，|OM|取最大值6.

15、【答案】　6 6．(2013重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________. 【解析】　由ρcos θ＝4，知x＝4. 又∴x3＝y2(x≥0)． 由得或 ∴|AB|＝＝16. 【答案】　16 三、解答题(每小题10分，共30分) 7．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)．求曲线C的普通方程． 【解】　由x＝－两边平方得x2＝t＋－2， 又y＝3(t＋)，则t＋＝(y≥6)． 代入x2＝t＋－2，得x2＝－2. ∴3x2－y＋6＝0

16、(y≥6)． 故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)． 8．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点． (1)求2x＋y的取值范围； (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围． 【解】　方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1. 其参数方程为(θ为参数)． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝，cos φ＝确定)． ∴1－≤2x＋y≤1＋. (2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1. ∴

17、当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立． 9．(2012福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(，)，圆C的参数方程为(θ为参数)． ①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； ②判断直线l与圆C的位置关系． 【解】　①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x. ②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)， 所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0. 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2， 圆心到直线l的距离d＝＝