湖北版高考数学 分项汇编 专题06 数列含解析理

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1、 专题6 数列 一．选择题 1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则 ( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 2.．【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得 为整数的正整数的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙

2、滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 4.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数： ①； ②； ③； ④. 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ( )

3、 A.① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【答案】C 【解析】 试题分析:等比数列性质，，①； ②；③；④.选C. 二．填空题 1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 . 【答案】2 【解析】 试题分析:由题意可知q≠1，∴可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(不合题意,舍去)，∴q=-2. 2.【2008年

4、普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·…·f(a10)]= . 3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。 4.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的

5、容积为 升. 5.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 …… 可以推测的表达式，由此计算 . 三．解答题 1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （Ⅰ）证明 （Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出

6、极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有 ∵ 2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （Ⅰ）、求数列的通项公式； （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 3.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】已知m，n为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx； （Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n； （Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=

7、(n+3)n的所有正整数n. 【解法1】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边， 因为，所以左边右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时， 下同解法1． 4.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有 a＜Sn＜b?若存

8、在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=- 要使a<Sn<b对任意正整数n成立， 即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+) ① 当n为正奇数时，1<f(n) ∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= , 于是，由①式得a<-(λ+18),< 当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满

9、足题目要求； 当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）. 5.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】已知数列的前n项和（n为正整数）。 （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。 由①-②得 于是确定的大小关系等价于比较的大小 6.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】 【解析】（Ⅰ）由题意可知，， 令　，则　， 又，则数列是首项为，公比为的等比数列， 即，故，

10、又， 故 （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当时，有， 7.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】（本小题满分13分） 已知数列的前n项和为，且满足： （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论。 【解析】（Ⅰ）由已知可得，两式相减可得，即，又， 所以当r=0时，数列为a,0,0……,0，……； 当时，由已知，所以, 于是由，可得，所以成等比数列， 当时，。 综上，数列的通项公式为： 8.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列前三项的和为，前三项的积为

11、. （Ⅰ）求等差数列的通项公式； （Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和. 当时， . 当时，满足此式. 综上， 9.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等比数列满足：，. （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。 10.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列满足：，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式. （2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列， 所以，解得或， 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. 11. 【20xx高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）当时，记，求数列的前项和． 故. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前项和. 12.