第9讲等效应力及等效应变

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1、全量理论 □全量理论建立了全应变与应力的关系。其中 比较有影响的^Hencky小变形理论。 2013-4-28 加载条件 □简单加载 在加载过程中，应力张量各分量按同样的 比例增加，也称为比例加载。即b广Cbq 0例: 5 0 0 ] 「10 0 0 ] 已知叭=0 10 0 , c = 2 ,则 ％ = 0 20 0 三4=0=歸 」尹^0^30丿 简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。 口复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。 Hencky小变形理论 基本观点 □应力与应变的位向关系 塑性应变主轴与应力主轴一致。 □应力与应变的分配

2、关系 在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该 瞬时相应的各偏差应力分量成比例，小变形 考虑弹性变形。 2013-4-28 5 数学表达式 6 或 8 2013-#-28 □总的变形 IJ 2G 8 .. = 8 e. + P — IJ IJ IJ 2013-4-28 r 1 — 2 v f CT .. H CT <5 ) + CT .. A V 厂 m IJ丿 IJ E 5 小变形理论用于大变形 对于大塑性变形，材料为刚塑性材料，采用简单加载条件，此时应 力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。 相应的应力应变关

3、系广义全量表达式为 2 5 二可入［%— U（Oy+ Oj］ “ =0.5,各向同性材料泊松比 2 ey=3入优-叽勺+匕）］ 2 z=y 入［丐一 U（y+ x）l 取主轴时: 6 = 2(Tj *2 ~ 久b； *3 = 26 2013-#-28 7 2013-#-28 7 2 6 + 6 2 3b —(7. 卄亍心-亍)「心-―) 2013-#-28 7 2013-#

4、-28 7 或 6 — 6 6 6 2013-5-28 7 □因此 G\ _ &2 $2 _ S3 CT j — (T 2 2 — 3 2013-4-28 8 9等效应力、等效应变 □把亿看成经过某一变形程度 c A D 下的单向应力状态的屈服极 限，则可称q为变形抗力。 □如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到。点，如 果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载 时所对应的应力附近（即点C处）发生屈服。这一 屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于 金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下， 不论对初始

5、屈服应力还是变形过程中的继续屈服极 限，统称为金属变形抗力（抵抗金属变形的力）。 2013-4-28 9 等效应力 □ 5是单向拉伸的 情况下得到的， 等于6。那么对 于复杂应力状态, bs与5血巧又有 何种关系？ 2013-4-28 10 2013-4-28 □由Mis尙屈服条件 (6 - +(— - 2013-4-28 +（6 -b）卜 2b；二 6k2 +(S _5广二 j 11 □若令 则金属屈服时有 be则为等效应力，把变形体所受的6个应力分量 4, 等效于一个单向拉伸时应力O 2013-4-28

6、□对于单向拉伸 CF] V 6时，金属处于弹性状态 S = as时，金属进入塑性状态 同样，复杂应力状态时， 艮＜ J时，金属处于弹性状态 = as时，金属进入塑性状态 □在一般应力状态下，等效应力为 当材料屈服时有 其中5,为单向应力状态下获得的屈服极限 2013-4-28 15 就是主轴时的等效应变增量，非主轴等效应变 此式表示的应变增量dse 增量如下: 扌［（如 g 化）2 +仏厂化）2 + （如 g如）2 + 6（耀;+ dy； + dy； 9 比例加载时，即采用全量理论 2013-4-28 19

7、 2013-4-28 # ^3 2 3 2 2 2 + *2 + *3 2013-4-28 # 2013-4-28 # Se为等效应变 □由2＞巧一Mis的流动法则（增量理论）， ds.. = dX • af. 代入 ij 2013-4-28 21 . [2 弓. ■ *2 八. . *2 f . . 、盲 ds e - J— (d — d J + (dw — d w 3丫 + (d&3 - ds{) 2013-4-28 # □得到 2 ds

8、= —dAa 6 3 或d"也 2 a 2013-4-28 2013-4-28 此式即为等效应变增量与等效应力的关系 ^\Levy―Mis的流动法则可以写成 3 de de.. = bl 2 CF e ■ y 2013-4-28 2013-4-28 2013-4-28 同理在塑性大变形时, 2 s = — 2cr "3 2013-4-28 等效应变与等效应力关系: 「 3 8 或 2 =—-- 2 CT e □这样，由于引入等效应变入与等效应力艮, 则本构方程中

9、的比例系数2便可以确定, 从而也就可以求出应变增量的具体数值o 2013-4-28 20 变形抗力曲线 曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或 □不论是一般应力状态还是简单应力状态作出 的 加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以 下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗 力曲线。 等效应变与等效应力的意义在于，等效应力将6个应力分量的对变形体的作用， 等效于一个单向拉伸力的作用。而等效应变将6个应变分量，等效于一个单向拉 伸力所产生的应变。利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关 系。 2013-4-28 2013-4-28

10、 2013-4-28 □单向拉伸 al > 0> cr2 = cr3 = 0； b。= b] = 6 Y Z1 I W = 6 = In — I 2013-4-28 -=乞=_d/2 22 □单向压缩 b」= b 可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力； 裁效应变等手缁对隹晨大圭应麦O 2013-4-28 23 □薄壁管扭转 CT 3 — ］、O" — 0 ； 2013-4-28 单向拉伸实验所得应力应变关系常有如下几种: 试验所得的真实应力一应变曲线一般都不是简单的函数关系。为了 实

11、际应用，常希望将此曲线描绘成一函数。根据对真实应力一应变 的曲线的研究，对将它归纳成2种类型： 在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。一般 可采用下述关系式来确定（幕指数硬化曲线）。 B——强化系数，与材料有关的常数 n——破化指数， 2013-4-# 25 2013-4-# 25 (2)对于有初始屈服应力"s的冷变形金属材料，可较好地表达为 这里略去了弹性变形阶段，因为对大变形来说，略去弹性交 形，不影响其准确性。式屮的B、n两参数根据实验曲线求 三出。 二 已知一点的应力分量为： 求：（1）等效应力O e值； （2）若该点处于塑性状态，利用 全量理论NT , _0 0 30" %•= 0 0 40 MPa 30 40 0 2013-4-# 25