【备考2014】2013高考数学(真题+模拟新题分类汇编)函数与导数理

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1、函数与导数 B1函数及其表示 21. B1, B12[2013 •江西卷]已知函数 f(x) =a'l-2 x-1 ；, a 为常数且 a>0. 、一 一，， 1 ,, (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x = 2对称； (2)若X0满足f(f(x 0)) =X0,但f(x 0)wx0,则称X0为函数f(x)的二阶周期点.如果 f(x) 有两个二阶周期点 xi, x2,试确定a的取值范围； (3)对于(2)中的 xi, x2和 a,设 x3为函数 f(f(x)) 的最大值点，A(xi, f(f(x i))) , B(x2, f(f(x 2))) , C(x

2、3, 0).记△ ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性. 解：(i)证明：因为 fg+x]= a(i -2|x|), 2 f l^-x 广 a(i -2|x|), 有 fg+x>0), 所以函数f(x)的图像关于直线 1 J (2)当 0<a<2时,有 f(f(x)) =」 i 所以f(f(x)) = x只什-个解x 1 卜 当 a=5时，有 f(f(x)) ={ 1 1k 所以f(f(x)) =x有解集x错误 中的所有点都不是二阶周期点. 1 x= 2对称. 4a2x, "2, 4a2 (1-x) , x>1.

3、L 2 =0,又f(0) =0,故0不是二阶周期点. 1 x<2, 1 X, x>2. x<错误！，又当x<错误！时f(x) = x，故x错误！ )x &错误! 当a>2时，有 r 4a2x, x< — 4a 1 c ,2 2a-4ax, 4 f(f(x)) = { 2a (1 —2a) 4 4a2 —4a2x, 1 1 尸2， + 4a x, <x< 2 4a — 1 x> 4a . 2a 2a 4a2 2a 2a 所以顺x)) =x有四个解0,中孑，乔与，干/又⑹=0, fEaJ=

4、 不⑦, 2 2 _ 2a 2a 4a 4a ^ 2a + 4a2 广 1 +4a2，f 1 + 4a2 广 1 +4a4 八 1 + 4a4 4a2 不？是忖 的二阶周期点. 一，一 『 1 综上所述，所求a的取值范围为a>2. 2 ( ,口 2a 4a (3)由(2)倚 X1=TT^?, x2= 1^, 1 因为X3为函数f(f(x)) 的最大值点，所以 X3 = n，或 4a— 1 x3= "A 4a 当x3 = 1 2a — 1 后时，S⑻=4(1+4a2)，求导得：* —2<a］ (1 4a 所以当 时，S(a)单调

5、递增，当 aC ,+°° |1 S(a)单调递减; 当x3 = 4a — 1 8a — 6a +1 b时,S(a) =4("，求导得: 2 S' (a)= 12a2+4a—3 2 (1+4a2) ■2， 1 12a + 4a— 3 因 a>2,从而有 S (a) = 2( 1 + 4a2)2>0, 且 f(e x) =x+ex,则 f' (1) 所以当aC j2, +00 j时S(a)单调递增. 13. B1, B11［2013 •江西卷］设函数f(x)在(0 , +8)内可导, 13.2 ［解析］

6、f(e x) =x+ex,利用换元法可得 f(x) =ln x+x,f' (x)=1+1,所以 f' (1) x =2. 10. B1, B8［2013•江西卷］如图1 — 3所示，半径为1的半圆O与等边三角形 ABC夹在 两平行线h,l 2之间，l // I1J与半圆相交于F, G两点，与三角形ABC两边相交于E, D两点.设 弧FG的长为x(0<x<兀)，y=EB+ BC+ CR若l从l 1平行移动到l 2,则函数y=f(x)的图像大 致是( ) 图1 — 3 A BCD 10. D ［解析］设l 一、, 〃一 /cos x +1 2 ,l

7、 2距离为 t , cos x=2t — 1 ,得 t = 2 . 4ABC的边长为 jg,  BE 1-t "2-=^" —3 得 B白马(1 — t),贝U y=2BE+ BC= 2X 2(1 — t) +马=2P 3 3 3 433 cos x + 1 ~2 ， . 兀…… . . 当xC（0,兀）时，非线性单调递增，排除 A, B,求证x = ~2的情况可知选D. 2. B1[2013 •江西卷]函数y = {Xln(1 —x)的定义域为( ) A. (0,1) B . [0 , 1) C. (0,1] D . [0 , 1]

8、 2. B [解析]x >0 且 1 —x>0,得 xC [0 , 1),故选 B. 11. B1[2013 •辽宁卷]已知函数 f(x) =x2 —2(a + 2)x+a2, g(x) =- x2+ 2(a - 2)x - a2 + 8.设 H(x) = maj f (x) , g (x) } , H2(x) = min{ f (x) , g (x) } (max{ p, q}表示 p, q 中的较大值，min{p, q}表示p, q中的较小值).记H(x)的最小值为A, H2(x)的最大值为B, 则 A— B=( ) A. 16 B . — 16 C. a2—2a—16

9、D . a2+2a—16 11. B [解析]由题意知当 f(x) =g(x)时，即 x2—2(a+2)x+a2=—x2+2(a — 2)x — a2+ 8, 整理得 x2— 2ax+ a2 — 4= 0,所以 x=a+ 2 x= a — 2, x -2 (a+2) x+a (xWa— 2), 所以 H(x) = max{f(x) , g(x)} =，-x+2 a a- 2) x - a+ 8 (a — 2<x<a +2), 、x2—2 (a+2) x+a2 (x>a+ 2), Hb(x) = min{f(x) , g(x)}= j- x2+ 2 (a-2)

10、x - a2 + 8 (x<a- 2), $x2—2 (a+2) x+a2 (a—2<x<a + 2), [-x2+ 2 (a-2) x - a2 + 8 (x>a+ 2). 由图形(图形略)可知，A= Hi(x) min= —4a —4, B= H2(x) max= 12 —4a,则 A- B=—16. 故选B. 4. B1[2013 •全国卷]已知函数f(x)的定义域为(一1, 0),则函数f(2x +1)的定义域为 ( ) . 1 A. (-1,1) B. 丁 1, -2J 1 C. ( — 1,0) D.台 1) 1 4. B [解析]对于

11、f(2x +1), - 1<2x + 1<0,解得—1<x<-2,即函数 f(2x + 1)的定义 域为J 1，— 2 } jL1;,皿 8. B1, J3[2013 •陕西卷]设函数f(x)=xJ 则当x>0时，f[f(x)] 表达式 -Vx, x>0, 的展开式中常数项为（ ） f[f(x)] =；— 56,展开式的通项为 Tr + 1=C；6T x x 可得r = 3,所以常数项为 T4= — C3= - 20. A. —20 B . 20 C . — 15 D . 15 8. A [解析]由已知表达式可得： 函数y = 3x

12、— 1 3 x 的图像大致是（ ） A B C D 图1 — 5 4)r=C6-(―1)r • xr 3,令 r—3=0, 7. B1, B3, B12[2013 •四川卷] 7. C ［解析］函数的定义域是{x C Rxw0},排除选项 A；当x<0时，x3<0, 3x-1<0,故 y>0,排除选项B; 当x- + oo时，y>0且y-0,故为选项 C中的图像. 19. B1, I2, K6［2013 •新课标全国卷H ］经销商经销某种农产品，在一个销售季度内， 每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每 1 t亏损300元.根据历史资

13、料，得到 销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图 1-4所示，经销商为下一个销售季度购进了 130 t该农产品，以X（单位：t, 100WXW 150）表示下一个销售季度内的市场需求量， T（单位： 元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （1）将T表示为X的函数； （2）根据直方图估计利润 T不少于57 000元的概率； （3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 （例如：若需求量 XC ［100, 110）,则取X= 105,且X= 105的概率等于需求量落入［100 , 110）的频率）

14、，求T的数学期望. 19.解：(1)当 XC [100 , 130)时， T= 500X- 300(130 -X) = 800X- 39 000. 当 XC [130 , 150]时，T= 500X130= 65 000. 800X- 39 000 , 100<X<130, 所以T= । 65 000 , 130W X< 150. （2）由（1）知利润T不少于57 000元，当且仅当120WXW 150. 由直方图知需求量 XC ［120, 150］的频率为0.7 ,所以下一个销售季度内的利润 T不少于 57 000元的概率的估计值为 0.7. （3）

15、依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4  所以 E(T) = 45 000 X 0.1 + 53 000 X 0.2 + 61 000 X 0.3 + 65 000 X 0.4 = 59 400. B2反函数 5. B2［2013 •全国卷］函数 f(x) = log 2 H+11 (x>0)的反函数 fT(x)=( ) 1 1 A.J(x>0)B. J(xw0) C. 5. 2x —1(x € R) D . 2x—1(x>0) A ［解析］令 y = l

16、og2f1+x ；,则 y>0,且 1 + ：=2y,解得 x='271i，交换 x, y 得 f 一 1(x)= B3函数的单调性与最值 x2+2x+a, x<0, 21. B3, B9, B12[2013 •四川卷]已知函数f(x) =" 其中a是实数.设 lnx , x>0, A%, f(x 1)), B(x2, f(x 2))为该函数图像上的两点，且 x1<x2. (1)指出函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图像在点A, B处的切线互相垂直，且 x2<0,求x2 —x1的最小值； (3)若函数f(x

17、)的图像在点A, B处的切线重合，求 a的取值范围. 21.解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(—8, — 1),单调递增区间为[—1, 0), (0, + °0). (2)由导数的几何意义可知， 点A处的切线斜率为f ' (x 1),点B处的切线斜率为f ' (x 2), 故当点A处的切线与点 B处的切线垂直时，有 f ' (x 1)f ' (x 2)=— 1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f ' (x) = 2x+ 2. 因为 x1<x2<0,所以，(2x 1 + 2)(2x 2+2) = — 1, 所

18、以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1 因此 x2—x1 = 2[—(2x1+2)+ 2x2+2] [—(2x1 + 2)] (2x2+2) =1, 3 1 当且仅当一(2x 1+2) =2x2+2= 1,即X = —3且x2= —时等号成立. 所以，函数f(x)的图像在点A, B处的切线互相垂直时，x2— x1的最小值为1. (3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时，f ' (x 1) wf ' (x 2),故 x1<0<x2. 当x1<0时，函数f(x)的图像在点(xb f(x 1))处的

19、切线方程为 , 2 y-(x 1+ 2x1+ a) = (2x 1+ 2)(x — x。， 2 即 y = (2x 1 + 2)x — x1 + a. 当X2>0时，函数f(x)的图像在点(X2, f(x 2))处的切线方程为 y — ln x 2= — (x — X2), 即 y= — • x+ ln x 2— 1. x2 x2 两切线重合的充要条件是 -=2xi+2,① x2 Jn x 2— 1 = — x2+ a.② 由①及 xi<0<x2,知一1<xi<0. 2 1 2 由①②得，a=x1+ ln-—-1=x1-ln(2x 1+2

20、)—1. 2x1 + 2 设 h(x 1) = x2— ln(2x 1 + 2) — 1( — 1<x1<0), 一, 1 则 h' (x 1) = 2x1-x^<0. 所以，h(x 1)( — 1<x1<0)是减函数. 则 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1, 所以 a>— In 2 — 1. 又当x1C( —1, 0)且趋近于一1时，h(x1)无限增大， 所以a的取值范围是(一ln 2 -1, +8). 故当函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合时，a的取值范围是(一ln 2 —1,十^). 10. B3

21、, B12[2013 •四川卷]设函数f(x) =：ex+x—a (a € R, e为自然对数的底数).若 曲线y = sinx上存在(xo, yo)使得f(f(y 0)) =yo,则a的取值范围是( ) A. [1 , e] B . [e1—1, 1] C. [1 , e+1] D . [e1—1, e+1] 10. A [解析]因为y0 = sin x oC [ — 1, 1],且f(x)在[—1, 1]上(有意义时)是增函数， 对于 y°C [ — 1, 1],如果 f(y 0) =c>y。，则 f(f(y 0)) =f(c) >f(y 0) = c>y

22、。,不可能有 f(f(y 0)) =y0. 同理，当 f(y 0) = dvy。时，则 f(f(y 0)) =f(d) vf(y 0)=dvy。,也不可能有 f(f(y 0)) =y。, 因此必有f(y0) = y0,即方程f(x) = x在[—1,1]上有解，即\/ex+ x— a = x在[ — 1,1]上有解.显 然，当x<0时，方程无解，即需要 Me；+x—a =x在[0, 1]上有解.当x>0时，两边平方得 e、+ x—a=x：故 a=ex—x2+x.记 g(x) =ex— x2+x,则 g' (x) =ex—2x+1. 当 xC |0, 2 I, ex&

23、gt;0, - 2x+1 >0,故 g' (x) >0, 当 x C , 1 1寸,e >yje> 1, 0>— 2x + 1 > — 1, 2 故 g' (x) > 0. 综上，g' (x)在xC[0, 1]上恒大于0,所以g(x)在[0 , 1]上为增函数，值域为[1 , e], 从而a的取值范围是[1 , e]. 3 x 7. B1, B3, B12[2013 •四川卷]函数y = 3x时的图像大致是( )  7. C ［解析］函数的定义域是{x C Rxw0},排除选项 A;当x<0时，x3&l

24、t;0, 3x-1<0,故 y>0,排除选项B； 当x- + oo时，y>0且y-0,故为选项 C中的图像. 10. B3, B5, B8, B12［2013 •新课标全国卷H ］已知函数 f(x) = x3+ax2+bx +c,下列结 论中错误的是( ) A. x°C R, f(x o) =0 8. 函数y = f(x)的图像是中心对称图形 C.若xo是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(一8, xo)单调递减 D.若xo是f(x)的极值点，则f ' (x o) = 0 10. C ［解析］x 一一8 时，f(x)<0 , x- +

25、 8 时，f(x)>0 , f(x) 连续， xoCR, f(x o) = 0, A正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x) =x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是 中心对称图形，B正确；若xo是f(x)的极小值点，可能还有极大值点 xi ,则f(x)在区间(xi , xo)单调递减.C错误.D正确.故答案为 C. B4函数的奇偶性与周期性 11. B4［2013 •广东卷］定义域为 R的四个函数 y = x3, y = 2x, y = x2+1, y = 2 sin x 中, 奇函数的个数是( ) 12. C ［解析］函数y=x3, y= 2sin x是奇函数. 11.

26、 B4［2013 •江苏卷］已知f(x)是定义在 R上的奇函数.当 x>0时，f(x) =x2-4x,则 不等式f(x)>x的解集用区间表示为. 11. (—5, 0) U (5 , +OO)［解析］设 x<0,则—x>0.因为 f(x) —f( — x) =— (x2 + 4x). 又f(0) =0,于是不等式f(x)>x 等价于 是奇函数, 所以 f(x)= x> 0, 或 x — 4x>x }<0, |— (x，4x) >x. 解得 x>5 或—5vx<0, 故不等式的解集为(一5, 0

27、) U (5 , +8). f( -1) 3. B4［2013 •山东卷］已知函数f(x)为奇函数，且当 x>0时，f(x) =x2+1,则 x =( ) A. -2 B . 0 C . 1 D . 2 3. A ［解析］•.一(x)为奇函数，，f ( - 1) =- f(1) =— y+1 1= - 2. 14. B4, E3［2013 •四川卷］已知f(x)是定义域为 R的偶函数，当 x>0时，f(x) =x2- 4x,那么，不等式f(x +2)<5的解集是. 14. ( -7, 3)［解析］当 x+2>0 时，f(x +2) = (x +2)2—4(

28、x +2) = x2-4,由 f(x +2) <5,得 x2—4<5,即 x2<9,解得一3<x<3,又 x + 2>0,故一2Wxv 3 为所求.又因为 f(x) 为偶函数，故f(x +2)的图像关于直线x = -2对称，于是一7<xv—2也满足不等式. (注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解 ) B5二次函数 4. A2、B5［2013 ・安徽卷］“aW0” 是“函数 f(x) = |(ax —1)x| 在区间(0, 十°o)内单调 递增”的( ) A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充分必要条件 D .既不充

29、分也不必要条件 5. C ［解析］f(x) =|(ax —1)x| =|ax2—x| ,若 a=0,则 f(x) = |x| ,此时 f(x)在区间 (0 , +°°)上单调递增；若 a<0,则二次函数y=ax2—x的对称轴x = ；<0,且x=0时y=0, 2a 此时y=ax2 —x在区间(0 ,+8)上单调递减且 y<0恒成立，故f(x) = |ax 2-x|在区间(0 , 十 8)上单调递增，故a<0时，f(x)在区间(0, +8)上单调递增，条件是充分的；反之若 a>0, 则二次函数y= ax2—x的对称轴x = 1 I ,

30、一一 1 , ,,, 2a>0,且在区间 0, 2a■上 y<°，此时 f(x)= |ax 2a 2-x|在区 f(x)不可能在区间(0 , 十°°)上单调 、 1 1 1 间0, 2a上单调递增,在区间%占上单调递减，故函数 递增，条件是必要的. 6. B5, B9［2013 ・湖南卷］函数f(x) = 2ln x的图像与函数g(x) =x2—4x+5的图像的交 点个数为( ) A. 3 B . 2 C . 1 D . 0 2 5. B ［解析］法一：作出函数 f(x) =2ln x , g(x) = x

31、 — 4x +5的图像如图： 可知，其交点个数为 2,选B. 法二：也可以采用数值法： x 1 2 4 f(x) = 21n x 0 2ln 2 =ln 4>1 In 4 2<5 2 g(x) =x — 4x+ 5 2 1 5 可知它们有2个交点，选B. 10. B3, B5, B8, B12［2013 •新课标全国卷H ］已知函数 f(x) = x3+ax2+bx +c,下列结 论中错误的是( ) A. xoC R, f(x 0) =0 B.函数y = f(x)的图像是中心对称图形 C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(—8

32、, x。)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点，则f ' (x 0) = 0 10. C ［解析］x 一一8 时，f(x)<0 , x- + oo 时，f(x)>0 , f(x) 连续， xoCR, f(x 0) = 0, A正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x) =x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是 中心对称图形，B正确；若xo是f(x)的极小值点，可能还有极大值点 xi ,则f(x)在区间(xi , xo)单调递减.C错误.D正确.故答案为 C. B6指数与指数函数 6. E3、B6、B7［2013 •安徽卷］已知一元二次不等式 f(x)<

33、0 的解集为x )x< — 1或 x>1,贝U f(10 x)>0的解集为( ) A. {x|x< — 1 或 x>—1g 2} B. {x| — 1<x<—1g 2} C. {x［x> -1g 2} D. {x|x< -1g 2} 1 .. v 1 , 一 6. D ［解析］根据已知可得不等式 f(x)>0的解是—1<x<2,故—1<10x<2,解得x<-1g 2. 16. A1, A3, B6［2013 ・湖南卷］设函数 f(x) =ax+bx —cx,其中 c>a>0,

34、c>b>0. (1)记集合隹{(a , b, c)|a , b, c不能构成一个三角形的三条边长，且 a= b},则(a , b, c)CM所对应的f(x)的零点的取值集合为 ; (2)若a, b, c是4ABC的三条边长，则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论 的序号) ① x€ (-OO, 1) , f(x)>0 ; ② xCR,使ax, bx, cx不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ ABC为钝角三角形，则 xC (1 , 2),使f(x) =0. 16. (1){x［0<x <1} (2)①②③ ［解析］(1)因2=3 所以函数f(x)

35、=2ax-cx,又因a, b, c 不能构成一个三角形，且 c>a>0, c>b>0,故 a + b=2a<c,令 f(x) =2ax —cx=0,即 f(x) = cx-2'-?-1 = 0,故可知但『==,又0<a3，结合指数函数性质可知 0<xW 1,即取值集合 占―1 cj 2 c 2, ， 为{x|0<x <1}. (2)因 f(x) = ax + bx — cx = cx j + 也 j — 1 L 因 c>a>0, c>b>0,则 0<c<1,0<c<1，当 x

36、 C (— 8, 1)时,有 ax>- b x>b所以 c c '-T+也『>a+b,又a, b, c为三角形三边，则定有 a c c c c + b吟故对 x.8, D,胃+胃一皿即 f(x)…bx—cx=c〔胃［>0, 故①正确；取 x=2,则 町+降旱，取x = 3, c c c c 由此递推，必 然存在x=n时，有?『+21<1,即an+bn<c:故②正确；对于③，因 f(1) =a+b— c>0, c c f(2) =a2+b2—c2<0(C为钝角)，根据零点存在性定理可知， xC(

37、1 , 2),使f(x) =0,故③ 正确.故填①②③. 3. B6, B7[2013 •浙江卷]已知x, y为正实数，则( ) a 2幻 x +幻 y — 2幻 x + 2® ' c 21g x © y =2© x +2® ' 3. D ［解析］••• lg(xy) b 21g(x +y)_ 2幻 x • 2幻 y D 2lg(xy) = 2lg x - 2lg y =lg x +lg y , .-.2"(xy) = 21gx+lgy=2lgx2lgy,故选择 D. B7对数与指数函数 6. E3、B6、

38、B7［2013 •安徽卷］已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为x )x< — 1或 1 x>2,贝u f(10 x)>0的解集为( ) A. {x|x< — 1 或 x>— 1g 2} B. {x| — 1<x<—lg 2} C. {x|x> — lg 2} D. {x|x< — lg 2} 6. D ［解析］根据已知可得不等式 f(x)>0的解是—1<x<2,故—1<10、<2,解得x<-lg 2. 16. B7、M［2013 •山东卷］定义“正对数”：ln + x 0<

39、;x<1，现有四个命题： ln x , x>1. ①若 a>0, b>0,贝U ln (ab) = bln a; ②若 a>0, b>0,则 ln (ab) =ln a+ln b; ③若 a>0, b>0,则 1n s ln a— ln b; b ④若 a>0, b>0,则 ln + (a + b) w ln a+ ln b+ ln 2. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 16.①③④ ［解析］①中，当 ab> 1 时，-b>0, . . a> 1, ln (ab) = ln a b= bln

40、 a = bln a;当 0<ab<1 时,b>0, 0<a<1, ln (ab) =bln a= 0,，①正确； ②中，当 0<ab<1,且 a>1 时，左边=ln (ab) = 0,右边=ln a+ln b= ln a+0=ln a>0, ，②不成立； ③中，当aw1,即a<b时，左边=0,右边=ln a-ln b< 0,左边》右边成立；当 a>1 b b 时，左边=ln ~= ln a— ln b>0,若a>b>1时，右边=ln a— ln b,左边》右边成立； 若0<b<a&l

41、t;1 b 时)右边=0,左边》右边成立；若 a>1>b>0,左边=ln -= ln a — ln b>ln a ,右边=ln a , b 左边》右边成立，，③正确； ④中，若 0<a+b<1,左边=ln (a+b)=0,右边=ln a+ln b+ln 2 = In 2>0 ,左边w .. .. - 、 ， 、 a+b 右边；右 a+ b> 1, In (a+b) — In 2 = In ( a+ b) — In 2 = In 2， 「 a+b m.a+b 人… a+b -. a+b 口厂 又「一2-wa 或一2-wb, a, b

42、 至少有 1 个大于 1, /. In—2-< ln a 或 ln —2-w in b,即 a+b 有 In (a+b)—in 2 = In (a+b)—in 2 = In ? w In a+ln b, •.④正确. 8. B7, E1［2013 •新课标全国卷n ］设 a=log 36, b = log 510, c= log 714,则( ) A. c>b>a B . b>c>a C. a>c>b D . a>b>c 8. D ［解析］a —b=log 36—log510=(1 +log 32) — (1+log 52) =

43、log 32 —log 52>0, b —c= log 510 —log 714= (1 + log 52) —(1 + log 72) = log 52 — log 72>0, 所以a>b>c,选D. 3. A. C. 3. B6, B7［20 13 •浙江卷］ 21g x +lg y _ 2© x +2回 ' 21g x - lg y _ 21g x + 21g ' D ［解析］: lg(xy) 已知x, y为正实数，则( ) 21g(x +y) _ 2幻 x . 2幻 ' 21g(xy) 一 2回 x . 2

44、回 ' =lg x +lg y ,，2 1g(xy) =21g x y =21gx 21gy,故选择 D. B8募函数与函数的图像 5. B8［2013 •北京卷］函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线 y = ex 关于y轴对称，则f(x)=( ) A. ex+1 B . ex1 C . e" D . e x1 5. D ［解析］依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到 f(x—1)的图像，又丫 = 3的图像 关于y轴对称的图像的解析式为 y = e x,所以f(x -1)=e x,所以f(x) =e-xl 10. B1,

45、 B8［2013 •江西卷］如图1 — 3所示，半径为1的半圆O与等边三角形 ABC夹在 两平行线l 1, l 2之间，l // 1 1, l与半圆相交于 F, G两点，与三角形ABC两边相交于E, D两点.设 弧FG的长为x(0<x<兀)，y=EB+ BC+ CR若l从l 1平行移动到l 2,则函数y=f(x)的图像大 致是( )  10. D ［解析］设l ,12距离为t, cos x= 2t2 — 1,得 t = x + 1 --.△ ABC的边长为 2 —3’ 祠1 T)，则 y=2BE+ BC= 2X 羽一)飞=273一十、^^, BE 1-t

46、2 一 2 2「4/3 /cos x +1 ~2 ~1 ~,得 BE= 3 当xC(0,兀)时，非线性单调递增，排除 A, B,求证x = ~2的情况可知选D. 10. B3, B5, B8, B12［2013 •新课标全国卷H ］已知函数 f(x) = x3+ax2+bx +c,下列结 论中错误的是( ) A. xoC R, f(x o) =0 B.函数y = f(x)的图像是中心对称图形 C.若xo是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(一8, xo)单调递减 D.若xo是f(x)的极值点，则f ' (x o) = 0 10. C ［解析］x 一一8 时，f(x)

47、<0 , x- + oo 时，f(x)>0 , f(x) 连续， x°CR, f(x o) = 0, A正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x) =x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是 中心对称图形，B正确；若xo是f(x)的极小值点，可能还有极大值点 x1 ,则f(x)在区间(x1 , xo)单调递减.C错误.D正确.故答案为 C. -x +2x, x<0, ・ 若 Jn (x+1) , x>0. B9函数与方程 11 . B9, B11［2013 •新课标全国卷I］已知函数f(x) |f(x)| >ax,则a的取值范围是( )

48、 A.(―巴 0] B . (—8, 1] C. [—2, 1] D . [-2, 0] 11. D [解析]方法一：若 x<0, |f(x)| =| -x2+ 2x| =x2-2x, x = 0 时，不等式恒成 立，x<0时，不等式可变为 a>x- 2,而x —2<—2,可得a>- 2; ,, , 一一 ln (x+1), 右 x>0, |f(x)| = |ln(x +1)| = ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得 a< 恒成立, 令 h(x) ln (x+1) x x ——ln(X+1) 则 h'

49、; (x) = 2 ,再令 g(x) x x L, m-ln(x +1),则 -x g (x) =(x+ 1)2<0,故 g(x)在(0 , +8)上单倜递减， 所以 g(x)<g(0) =0,可得 h (x) x x+ 1 一 ln (x+1) <0,故 h(x)在(0 + oo )上单调递减, x一十 oo 时，h(x) — 0, 所以h(x)>0 , aW0.综上可知，—2WaW0,故选 D. X2-2x, x<0, 方法二：数形结合：画出函数 |f(x)| =* 与直线y = ax的图像，如下图， ln

50、 (x+1) , x>0 要使|f(x)| > ax恒成立，只要使直线 y= ax的斜率最小时与函数 y=x2—2x, x<0在原点处 的切线斜率相等即可，最大时与 x轴的斜率相等即可， 因为 y = 2x—2,所以 y' | x=0=— 2,所以—2w aw 0. 10. B9, B12［2013 ・安徽卷］若函数 f(x) =x3+ax2+bx+c 有极值点 xi, x2,且 f(x i)= xi,则关于x的方程3(f(x)) 2+2af(x) +b=0的不同实根个数是( ) A. 3 B . 4 10. A ［解析］因为 f ' (x) =

51、 3x2+2ax + b, 3(f(x)) 2+2af(x) +b=0 且 3x2+2ax+b = 0 的两根分别为xi, x2,所以f(x) = xi或f(x) =x2, 当xi是极大值点时，f(x i) =xi, x2为极小值点，且 =xi有两个实根，f(x) =x2有一个实根，故方程 3(f(x)) x2>xi,如图(i)所示，可知方程 f(x) 2+2af(x) +b=0共有3个不同实根; 当xi是极小值点时，f(x i) =xi, x2为极大值点，且 =xi有两个实根，f(x) =x2有一个实根，故方程 3(f(x)) x2<xi,如图(2)所示，可知方程

52、f(x) 2 + 2af(x) +b=0共有3个不同实根; 综合以上可知，方程 3(f(x)) 2+2af(x) +b=0 共有 3个不同实根. ⑴ ② 8.B9［20i3 ・安徽卷］函数y=f(x)的图像如图i — 2所示，在区间［a , b］上可找到n(n >2) 个不同的数xi, x2, f (xi) f (x2) f (xn …，xn,使信则n的取值氾围正( A. {3 , 4} B . {2 , 3, 4} C. {3,4,5} D . {2, 3} 8. B ［解析］问题等价于直线 y=kx与函数y = f(x)图像的交点个数，从图中可以

53、看出 交点个数可以为2, 3, 4,故n的取值范围是{2 ,3,4}. 5. B5, B9［2013 ・湖南卷］函数f(x) = 2ln x的图像与函数g(x) =x2—4x+5的图像的交 点个数为( ) A. 3 B . 2 C . 1 D . 0 5. B ［解析］法一：作出函数 f(x) =2ln x , g(x) = x2—4x +5的图像如图： 可知，其交点个数为 2,选B. 法二：也可以采用数值法： x 1 2 4 f(x) = 2ln x 0 2ln 2 =1n 4>1 In 4 2<5 2 g(x) =x — 4x+ 5 2

54、 1 5 可知它们有2个交点，选B. 21. B9、B12[2013 ・山东卷]设函数 f(x)=与+c(e = 2.718 28…是自然对数的底数, e cC R). (1)求f(x)的单调区间、最大值； (2)讨论关于x的方程11n x| =f(x)根的个数. 21.解：(1)f ' (x) = (1 — 2x)e 2x. 1 由 f ' (x) = 0,解得 x=2, 1 当x<2时，f ' (x)>0 , f(x)单调递增； 1 . 当x>2时，f (x)<0 , f(x)单倜递减. 1 1 1 1 所

55、以，函数f(x)的单调递增区间是一8, 2,单调递减区间是+OO,最大值为f !=- e1+ c. (2)令 g(x) = |lnx| — f(x) = |lnx| — xe 2x— c, xC(0, +8). e?x ①当 xC(1, +x)时)lnx>0 ,贝 U g(x) = lnx -xe 2x- c,所以 g' (x) = e-2x—+2x—1. x 2x 因为 2x- 1>0, —>0,所以 g' (x)>0. x 因此g(x)在(1 , + 8)上单调递增. ②当 xC(0, 1)时，lnx<0 ,则 g(x) =—l

56、nx — xe 2x— c, 2x 所以 g' (x) = e-2x-^-+ 2x —1. x 2x 因为 e2x€ (1 , e2), e2x>1>x>0,所以一 之<—1. x 又 2x — 1<1 2x e 所以 F2x—1<0,即 g (x)<0. x 因此g(x)在(0 ,1)上单调递减. 综合①②可知，当 xC(0, +8)时，g(x)>g(i)=— e 2-c. 当g(1) = - e 2- c>0,即c<—e「2时，g(x)没有零点，故关于 x的方程11nxi =f(x)根的 个数为0;

57、 当g(1) = - e 2-c= 0,即c= —e-2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程11nxi = f(x) 根的个数为1; 当 g(1) = — e 2 —c<0,即 c>—e-2时， (i )当 x € (1 ,)时，由(i)知 g(x) = 1nx — xe 2x —c> Inx — ；e 1 + c>lnx — 1 — c, 要使 g(x)>0 ,只需使 Inx - 1 - c>0,即 xC(e1+c, +0°)； (ii)当 x € (0 , 1)时，由(1)知 g(x) = — Inx — xe 2x —c>

58、— Inx — 2e 1+ c> — Inx — 1 — c, 要使 g(x)>0 ,只需一Inx — 1 — c>0,即 x C (0 , e 1c); 所以c> —e-2时，g(x)有两个零点， 故关于x的方程|lnx| =f(x)根的个数为2. 综上所述， 当c< —e「2时，关于x的方程|lnx| = f(x)根的个数为0; 当c=—e-2时，关于x的方程|lnx| =f(x)根的个数为1; 当c> —e-2时，关于x的方程|lnx| = f(x)根的个数为2. x2+2x+a, x<0, 21 . B3, B9, B12[2

59、013 •四川卷]已知函数f(x) =" 其中a是实数.设 |lnx , x>0, A(x1, f(x 1)), B(x2, f(x 2))为该函数图像上的两点，且 x1<x2. (1)指出函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图像在点 A, B处的切线互相垂直，且 x2<0,求x2 —x1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合，求 a的取值范围. 22 .解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(—8, — 1),单调递增区间为[—1, 0), (0, + °0). (2)由导数的几何意义可知， 点A处的切

60、线斜率为f ' (x 1),点B处的切线斜率为f ' (x 2), 故当点A处的切线与点 B处的切线垂直时，有 f ' (x 1)f ' (x 2)=— 1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f ' (x) = 2x+ 2. 因为 x1<x2<0,所以，(2x1 + 2)(2x 2+2) = - 1, 所以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1 因此 x2-x1 = 2[ - (2x 1+2)+ 2x2+2] > 也-(2x1 + 2) ](2x2+2)= 1, 一 3 1 ... 一 . 当且仅当

61、一 (2x 1+ 2) = 2x2+ 2= 1,即x1 = — 2且*2= — 3时等3成立. 所以，函数f(x)的图像在点A, B处的切线互相垂直时，x2— x1的最小值为1. (3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时，f ' (x 1) (x 2),故 x1<0<x2. 当x1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1, f(x 1))处的切线方程为 , 2 y — (x i+2xi+a) = (2x i+2)(x — xi), 2 即 y = (2x i + 2)x — xi + a. 当x2>0时，函数f(x)的

62、图像在点(x2, f(x 2))处的切线方程为 y — ln x 2= x(x —x2), 即 y= — • x+ In x 2— 1. 两切线重合的充要条件是 —=2xi+ 2,① x2 Jn x 2 — 1 = — xi + a.② 由①及 xi<0<x2,知一1<xi<0. ，一一 o 1 o 由①②伶，a= x1 + ln 2—2jZ~2 —1=x1 一 ln(2x 1 + 2) — 1. 设 h(x 1) = x2— ln(2x 1 + 2) — 1( — 1<x1<0), 1 则 h' (x 1) = 2x1 —x^&l

63、t;0. 所以，h(x 1)( — 1<x1<0)是减函数. 则 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1, 所以 a>— In 2 — 1. 又当x1C( —1, 0)且趋近于一1时，h(x。无限增大， 所以a的取值范围是(一ln 2 -1, +8). 故当函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合时，a的取值范围是(一ln 2 —1,十^). 7. B9[2013 •天津卷]函数f(x) =2x|log o.5x| -1的零点个数为( ) A. 1 B . 2 C . 3 D . 4 x 2xlog 0.5 x - 1, 0<x<

64、1, 7 . B [解析]f(x) = 2 110g 0.5 x| — 1 ={ 彳 3 = —2 log 0.5 x — 1, x>1 —2xlog 2 x — 1, 0<x< 1, pxlog 2 x — 1, x>1. •••f(x) =- 2xlog 2x-1在(0, 1]上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)=- 1<0, f(x)在(0, 1]上有一零点；又•「f(x) = 2xlog 2x-1 在(1 , +8)上递增，且 f(2) =22 Xlog2 2-1 = 3>0, .-.f(x)在(1 , +8)上有一零点.故

65、 f(x)共有 2 个零点. B10函数模型及其应用 10. B10[2013 •陕西卷]设冈 表示不大于x的最大整数，则对任意实数 x, v,有( ) A. [ -x] =- [x] B . [2x] =2[x] C. [x +y] w [ x] + [y] D . [x -y] <[x] - [y] 10. D [解析]可取特值 x=3.5,则[―x]=[—3.5] =-4, — [x] =—[3.5] =—3,故 A错.[2x] =[7] =7, 2[x] =2[3.5] =6,故 B错.再取 y=3.8 ,则[x + y] = [7.3] =7,而[3.5] + [3.

66、8] =3+3=6,故C错.只有 D正确. 6. B10[2013 •重庆卷]若 avbv c,则函数 f(x) = (x — a)(x — b) + (x — b)(x — c) + (x — c)(x —a)的两个零点分别位于区间( ) A. (a, b)和(b, c)内 B . (一, a)和(a, b)内 C. (b , c)和(c , + 00 )内 d . ( —00, a)和(c , + 8)内 6. A [解析]因为 f(a) =(a—b)(a -c) >0, f(b) = (b - c)(b —a)<0, f(c) =(c—a)(c -b) >0

67、,所以f(a)f(b) <0, f(b)f(c) <0,所以函数的两个零点分别在 (a, b)和(b, c)内， 故选A. B11导数及其运算 11. B9, B11［2013 •新课标全国卷I］已知函数f(x) —x2+ 2x, x< 0, 若 ln (x+1) , x>0. |f(x)| >ax,则a的取值范围是( ) A. (—8, 0] B . (—00, 1] C. [—2, 1] D . [-2, 0] 11. D 立，x<0时, ［解析］方法一：若 x<0, |f(x)| 不等式可变为 =| — x

68、+ 2x| = x — 2x a>x- 2,而 x一2<一2,可得 a>- 2; x = 0时，不等式恒成 若x>0 |f(x)| = |ln(x + 1)| = ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得 in (x+1) 、 H-x一，区成立, 令 h(x) in (x+1) x 则 h' (x)= x TT7 —ln(x+1) x ,再令g(x) x 力-ln(x +1),则 g' (x) -x (x+ 1) 故g(x)在(0 , +8)上单调递减，所以g(x)<g(0) =0,可得h&

69、#39; (x) (x+ 1) 2 x 所以 h(x)>0 , <0,故h(x)在(0 , +°°)上单调递减，x— + 8时, aW0.综上可知，—2WaW0,故选 D. h(x) -0, 方法二：数形结合：画出函数 |f(x)| y = ax的图像，如下图, y=x2—2x, x<0在原点处 要使|f(x)| > ax恒成立，只要使直线 y= ax的斜率最小时与函数 的切线斜率相等即可，最大时与 x轴的斜率相等即可， 因为 v'

70、= 2x-2,所以 y' I x=0=- 2,所以一2WaW0. 10. B11［2013 •广东卷］若曲线y=kx+ln x 在点(1 , k)处的切线平行于 x轴，则k= x=1=k + 1 = 0,故 k = —1. 10. — 1 [解析].y，= k + 1, •.y，I x =2. 13. B1, B11[2013 •江西卷] 13.2 [解析]f(e x) x =x + e 18. B11, B12[2013 ・北京卷 设函数f(x)在(0 , +°°)内可导，且f(e 利用换元法可得f(x) =

71、ln x+x,f' (x) x. )=x+ex,则 f，(1) 1 一 =7+1,所以f ' (1) x ］设L为曲线C: y = 9二在点(1, 0)处的切线. x (1)求L的方程； (2)证明：除切点(1 18.解:⑴设f(x) ,0)之外，曲线C在直线L的下方. In x 1 — ln x =匚一，则 f' (x) = 17 1. x x 所以 f' (1) = 1. 所以L的方程为y = x-1. (2)令g(x) =x- 1 -f(x),则除切点之外，曲线 C在直线L的下方等价于 g(x)>0( x>0, xw1). g(x)满足 g(1) =0,且 g，(x) = 1—f ' (x)= x2— 1 + ln x 当 0<x<1 时，x2- 1<0 故g(x)单调递减； 当 x>1 时，x2 —1>0, 故g(x)单调递增. 所以 g(x)>g(1) =0( 所以除切点之外，曲线 2 . x In x<0 ,所以 g' (x)<0