《简支梁固有频率及振型函数(共3页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简支梁固有频率及振型函数(共3页)（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、精选优质文档-----倾情为你奉上
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导
一．等截面细直梁的横向振动
取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为
y=y(x,t) (1)
除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程
2、可以表示为：
(2)
其中，E是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。在这些规定下，有：
(3)
于是，对方程（2）求偏导，可得：
3、 (4)
考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有：
(5)
方程（5）就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为
(6)
其中代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微
4、分方程：
(7)
其中。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为：
y(x,t)=X(x)Y(t) (8)
将式（8）代入（7），得：
(9)
上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x，因此要使对于任何x,t上式均成立，必须二者均等于
5、一个常数。将这一常数记为-p2.
于是有：
(10)
(11)
方程（10）的通解为：
Y（t）=Asinpt+Bcospt (12)
其中，A,B为积分常数。
方程（11） 的通解为：
(13)
二．简支梁的固有振型和固有频率
简支梁的边界条件为：
X（0）=0，X’’(0)=0.
X（l）=0，X’’(l)=0
所以有：
特征方程为:
由此得特征值为：
与此相应的固有频率为
而对应的振型函数为
王舒雅，
专心---专注---专业
简支梁固有频率及振型函数(共3页)
