大学物理质点运动学PPT

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1、第一章 运动的描邀 1-1參考系坐标系物理棋型 1一2运动的描述 1 3 4 对运动 1J参考系坐标系物理模型 运动的绝对性和相对性 世界上万物都处在不停地运动中，大到EU月、星体，小 到各种微观粒子（分子.原子.质子.电子……），没有不运 动的物质，也没有物质不运动，所以物质运动是绝对的。 物体运动的绝对性，对运动描述的相对性。 3 例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动, 火车上的观察者：物体作匀变速直线运动； 地面上的观察者：物体作平抛运动。 1

2、.1.2参考糸 描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群一3 —称为参考系 0_一 亠——■一― 二 1.1.3坐标糸 为定量地描述物体位置而引入。 然坐标系、 球面坐标 常用的有直角坐标系、极坐标系、 系或柱面坐标系等。 ⑴运动学中参考系可任选。 ⑵ 参照物选定后，坐标系可任选。 （3）常用坐标系 柱坐标系（P，0,z） 自然坐标系（s） 4 河耨:理構燮 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要 求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理 想模型。 *关于物理模型的提出 ! (1) 明确所提问题； | (2) 分析各种因

3、素在所提问题中的主次； (3) 突出主要因素，提出理想模型； (4 )实验验证。 | “理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。 • - 上—Q • WC—；BM< 专 1、理想质点模型 b选用质点模型的前提条件是: 物体自身线度Z与所研究的物体运动的空间范围啪比可以忽略; 或者物体只作平动。 两个条件中，具一即可。 *质点力学是基础 如N个沙粒组成的物质系统——质点系 方法：一个沙粒一个沙粒地解决 如果是质量连续体 方法：切割无限多个质量元 一个质量元一个质量元地解决 7 2、理想刚体模型 当物体自身线度Z与所研究的物体运动的空间范围卄匕不

4、可 以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位， 我们可以引入刚体模型。 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。 9 「~ 运动的描述 1.2.1 住矢、住移、速度和加速度盛直角坐标糸中的表示或 1、位置矢量 / 1）位置坐标 质点P在直角坐标系中的位置可由P所在点的三个坐标 （X, y, z）来确定 2）位置矢量r 由坐标原点引向考察点的矢 量，简称位矢。 其在直角坐标系中为 ―► ―► -9 r - xi +yj + zk /的方向余弦是 cos cos a- — r

5、cos2 a+cos2 B + cos2 y = l 13 3)运动方程和轨道方程 a＞质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函数式称为运 动方程。 表示为： , y 二 y(f) , z 二 z(f). 或 r = r(0 运动方程是时间t的显函数。 b、质点在空间所经过的路径称为轨道(轨迹)。 从上式中消去t即可得到轨道方程。 轨道方程不是时间t显函数。 # 厶位移和路程 |1）位移Ar a＞定义：由起始位置指向终了位置的有向

6、线段; Ar =四一斤 At时间内位置矢量的增量 位移的模|AF|与矢量模的增量A厂不是同一个量 I Ar 1=1 - J] I = J（兀2 —兀1 F + （儿—X 丫 + （?2 —可）2 △厂=1 勺丨一丨片 1= Jx； + y； + z； 一 Jx： + y： + z： 11 b、位移在直角坐标系中的表示式 Ar 二 Axi + Ayj + Azk 2）路程Z\S At时间内质点在空间实际运行的路径。 &位移和路程的比较与联系 不同处：Ar是矢量，AS是标量； Ar只与始末位置有关； △S与轨道形状和往返次数有关; 因此，一般情况下|Ar| A? 联

7、系：在Zkt —>0时， \dr\ - ds 但仍是 |历丰dr +速度 描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量 Ar 1）平均速度与平均速率 -As v =—— Ar 读成t时刻附近时间内的平均速度（或速率） A^o , — • ■ _ X # X # X # 在一般情况下 在直角坐标系中 |v I V = Ay v 十 Az r v =——I +亠7 +——k & A/ A/ 2）瞬时速度与瞬时速率 Ar lim —— _ dr dt lim As ds d

8、t 可见速度是位矢对时间的变化率。 可见速率是路程对时间的变化率。 _ \dr\ ds 心|汁訂卩可见速率是速度的模。 3) V在直角坐标系中的表示式 r =xi +刃 + zk - dr dx r dy 弋 dz r v =——=——i + — j +——k dt dt dt dt = vxi+vyj+vzk 2 ( 2 1 2 V + V + V x y z dx \dt丿 15 y— + 4“加速度 a 描述质点速度大小和方向变化快慢的物理量 rS为描述机械运动的状态参量 a 称为机械运动状态的变化率 1）平均加速度与瞬时加速度 #

9、 # dt dt2 23 2）加速度Q在直角坐标系中 -dv dvY r ci —— =—i + dt dt d2x —dt2 4+也 dt dt +符 dt2 dt丿 dt丿 =ai +a^ j +ak d2x dt2 d2y dt2 d2z dt2 x yd z例1.1如图1.5, —人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳 端方的平台上，人的速率⑰不变，求小车的速度和加速度大小. 解小车沿直线运动，

10、以小车前 进方向为兀轴正方向，以滑轮为 坐标原点，小车的坐标为兀，人 的坐标为s,由速度的定义，小 车和人的速度大小应为 dx ds 图1・5 由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的 绳长的变化率，即 dx dl 18 dt dt * I 两边对f求导得 可以看出有l2=s2+h2 —dl 宀 ds 2Z——=2s—— dt dt 27 # 车十i s 人 y/s2 + h2 3 s1 + h2 # # 同理可得小车的加速度大小为 2/ 2 dt

11、 讪 2 , 7 2 x + n 上好j运动学中的两类问题 A 1、 已知运动方程，求速度、加速度（用求导法） _ dr 一 dv d2r v =—— a = = —z- 、 dt dt dt I 2、 已知加速度（速度），初始条件，求速度（运动程）（用积分的方） 法） 设初始条件为：t = 0时，厂=仓，v = v0 r t —► V-Vo = adt -dv (2 = dt -dr v =—— dt _dv = VO adt r r —► 「t —► \ dr = \ vdt f vdt Jr。 Jro J 29 例1・4已

12、知一质点的运动方程为，r = 3ti-4t2j 式中厂 以m计，/以s计，求质点运动的轨道、速度、加速度• 解 将运动方程写成分量式 x = 3t , y = -4t2 消去参变量匚得轨道方程：4x2+9j=0,这是顶点在原 点的抛物线•见图1.15. 由速度定义得 v = — = 31-Stj dt 其模为v = ^32 + (802，与兀轴的夹角& 3 31 由加速度的定义得 a =——=-8 / dt 即加速度的方向沿y轴负方向, 大小为8m/52. # 例已知a = l6j 昇=0时， ％ =6几兀=8 求乙那运动方程。 dv 一 dF

13、 = a = 167 代入初始条件 p-z>0=16rj •积分初始值（下限）由初始条件确定 等式两边积分变量的积分限 对应 广… 16dr 7 Jv0 Jo J 得 v — 6i +16^j J_6?r = Jo (6i + 16f j)dt 得运动方程为 dr 一 ——=v dt 代入初始条件片二8花 23 # r = 6t z+8z2 j+8^ x — 6t^ y = 8z^2, z = 8 # 曲线运动的描述. li平面曲线运动的直角坐标系描述一以抛体运动为例 1)物体作抛体运动的运动学条件: 25

14、 # 且a与％夹角& （0 ＜0 ＜兀） 2)重力场中抛体运动的描述 (1)速度公式 冬=vo cose u = v0 sin0-gt x = v0 cosO ・t H0 H 71 2 X (2)坐标公式＜ y 二卩0 sin0v — # (3)几个重要问题 (i)射高：这时 vv = 0, tH = 丫。血 g 2 ・ 2 q 将站代入坐标公式y中得 H = VSm 2g (或看成 v0 sin 6^ 竖直上抛) (ii)射程： 飞行

15、总时间 T = 2tH = 2vSin^ g 代入坐标公式X中 得 R=仏sin 20 g jr 2 当 0=时，r4射程最大 讨论: 4 g 当—时，H找有最大射高 2 2g 2、曲线运动的自然坐标系描述 1）自然坐标系 质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的 轴线一自然坐标。 厂0, ％ 坐标架单位矢: 27 # 方向通常指向前进方向, 方向指向曲线凹侧 # 2）切向加速度和法向加速度 叱）dO 29 a、法向加速度 一 dO _ dO ds a=v ——= v

16、"dt ds dt ※描述的是速度方向的变化 b、切向加速度 dv 一 dtTQ d2s - 乔5 ※描述的是速度大小的变化 do - 引入曲率、曲率半径 ds k de v2 一 —no p f dv 一 /一 Cl = T(} H /?n dt p 29 # ⑷2 —+ Rdf丿

17、at at ※将万向不同的坐标轴中投影 # # T # 例1・2以速度v平抛一小球，不计空气阻力，求（时刻小球的 切向加速度量值％、法向加速度量值an和轨道的曲率半径“ 解：由图可知 V v 2 aT = gsin0 = g- an=gcos0 = g —g% V —佗+ g V2讨+*代+g勺2严 p -——= _ 30 an 色 周运动 31 # 周运动的线量描述 位矢 r = r(s). 元位移dr = dsT0 速度 ds _ 一 V —

18、 — dt 0 加速度 U — ClT Cln = — Tq H H,q dt p 2 匀速率圆周运动: = 0 色二常数 # 2)圆周运动的角量描述 (1)基本知识 角位置Q—&0 角位移 A0 = E_01 角速度 △& dO co = lim =—— △2 At dt 角加速度 "1曲 A—0比 do _ d23 dt dt2 33 (2)匀角加速圆周运动 即0二常数 请与匀速率圆

19、周运动区别。 当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量 故其可与匀变速直线运动类比。 35 (2)匀角加速圆周运动 即0二常数 # (2)匀角加速圆周运动 即0二常数 匀变速直线运动 v-v0 + at 1 2 x-xo+vot + -at 2 2 卩—片二 匀角加速圆周运动 G) = % + (3 t 1 9 0 — 0^ + 刃h— f31 曲-①；=20(02-仇) # (2)匀角加速圆周运动 即0二常数 # 3）线量与角量的关系 同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。

20、dt dt y2 ds — Rd0 az=— = R — = R/3 a R/ dt dt R 角速度矢量的方向： 由右手螺旋法规确定。 角速度矢量与线速度 的关系。 —p # 解 (1)由题知 = 2m = 2〃x 。=0，故由式(1.26)可得： /? = —~~ = 50乃=_” = _3.]4 rad/s t 50 从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数分别为： 0 -Oq = co0t + i /3t2 =5071 x 50

21、— x (50)2 = 1250^- rad 例1.3 —飞轮以转速〃 = 1500转每分(rev/min)转动，受制 动后而均匀地减速，经f=50s后静止.(1)求角加速度〃和从 制动开始到静止飞轮的转数N； (2)求制动开始后/=25s时 飞轮的角速度少；(3)设飞轮的半径R = 求F=25s时飞 轮边缘上任一点的速度和加速度. 螟^=50万 rad/s ,当t=50 S时 60 幷=1250兀=625 rev ⑵如寸飞轮的角速度为： 6?=血0+/7t = 50兀一25兀=25疋 rad/s ⑶尸25 s时飞轮边缘上任一点的速度为 v = R^y =1x25兀=7&

22、5 m/s 相应的切向加速度和向心加速度为： aT = R/3 = —7T = —3.14 m/s2 an — Ro>2 =1x（25兀）2 = 6.16xl03 m/s2例1・5 *「质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长s按 s=t+2t2的规律变化.问它在2s末的速率、切向加速度、 法向加速度各是多少？ 解由速率定义，有 v = —= 1 + 4? dt 将匸2代入，得2 s末的速率为 v = 1 + 4x2 = 9加s 其法向加速度为 V2 2 — = 81 m/s2 R 37 # 由切向加速度的定义，得％ $=4m/z

23、 39 例1・6 F飞轮半径为2 m,其角量运动方程为〃=2+3（—4血）, 求距轴心1 m处的点在2 s末的速率和切向加速度. * jn 解：因为 = —= 3-12?2 dt do) = -24t dt 将f=2代入，得2 s末的角速度为 0 = 3—12x(2)，=-45 rad I s 2 s末的角加速度为 /? = —24x2 = —48 rad!s2 在距轴心1 m处的速率为 v=Rco=—45 m/s 切向加速度为 aT =R/3 = -48 mis2 38

24、 1-3相对运动 运动是绝对的，运动的描述具有相对性。 以车站为参照系 以汽车为参照系 39 运动参照糸，餡止参照糸 1 > “静止参照系”、“运动参照系”都是相对的。 相对于观察者为静止的参照系，称为静止参照系。 相对于观察者为运动的参照系，称为运动参照系。 对于一个处于运动参照系中的物体，

25、相对于静止参照系的运动 称为绝对运动； 运动参照系相对于静止参照系的运动称为牵连运动； 物体相对于运动参照系的运动称为相对运动。 41 二一参照糸彼此之间有相对运动（非相对论效应丿 设S/系相对S系以速度V。运动，P为S/系中的一个质点, P对于O点的位矢为绝对位矢r 0/对于O点的位矢为牵连位矢厂0 P对于O/点的位矢为相对位矢； 在牛顿的时、空观中 即绝对位矢二牵连位矢+相对位矢 r = r0 + rf 41 将r = r0 + rf 两边对七求导，即得 绝对速度V绝，牵连速度V牵，相对速度V相，且有 绝= % +『 将上式再对t求导，即

26、可得绝对加速度，牵连加速度，相加对 速度之间的关系 N绝=a0-ha 两点说明： ① 上述各式均只在VVVC时成立； ② 上述结论只适用于两参考系间不存在转动的情况。 三*同d殽照糸内，质点糸各质点之间的相对运动 若一质点系同在某一基本参 考系内运动，如果我们讨论的 是质点系内各质点间的相对运 动，则有时运用下面的方法要 方便些。 设A、 B为质点系内的两个质 点，它们同在OXYZ系内运动, 少、。为对0点的位矢，则 两质点间的相对位矢，即b对a的位矢为 fBA = rB—rA B对A的相对速度 yBA = —口4 后一种描述相对运动的方法可以统一到前一种方法中

27、。例 如，将A质点看成&系，则少为牵连位矢，仏为相对位矢， 则。为绝对位矢，于是有 B对A的相对加速度 ^BA _ 43 例1.9如图1.18(a)所示，河宽为厶河水以恒定速度疏动，岸边有儿 夕码头，儿 琏线与岸边垂直，码头祖有船相对于水以恒定速率卩。开动, 证明：船在儿夕两码头间往返一次所需时间为 2L V vo (船换向时间忽略不计). 11 (1)) 45 图 1. 18 解 设船相对于岸边的速度(绝对速度)为-由题知，卩的方向必须指 向A, 〃连线，此时河水流速u为牵连速度，船对水的速度％为相对速 度，于是有 v = w + v0 据此

28、作出矢量图，如图1.18(b),由图知 # 可证当船由B返回A时，船对岸的速度的模亦由上式给出•因为在AB两 码头往返一次的路程为2厶 故所需时间为 2L 讨论: ⑴若比=0,即河水静止，则/ =—,这是显然的. Vc (2)若v0 ,即河水流速%等于船对水的速率心，则『一0即船由 码头A(或3)出发后就永远不能再回到原出发点了. (3)若n>v0，则(为一虚数，这是没有物理意义的，即船不能在A, 3间 往返. 综合上述讨论可知，船在A, 3间往返的必要条件是 46 V。>% 例1.10如图1.19(a)所示，一汽车在雨中

29、沿直线行驶，其速率为儿， 下落雨滴的速度方向与铅直方向成&角，偏向于汽车前进方向，速率 为勺，车后有一长方形物体4(尺寸如图所示)，问车速儿多大时，此 物体刚好不会被雨水淋湿. 解因为 所以 雨车=唏车二卩2 _片二“2 + (—片) 47 # 而由图1.19(b)可算得 H — v2 cos 0 (B) 据此可作出矢量图，如图1.19(b)•即此时卩雨车与铅直方向的夹角 为a,而由图1.19(a)有 L tan a- — h ///〃/〃/////〃/〃////////////〃/• (a) 图 1.19 v, = v2 sin 0 + // tan a — v2 sin^ + v2 cos 0 — h 位矢f 位移Jr 速度v 加速度a ★矢量性: Ui 四个量都是矢量，有大小和方向, 加减运算遵循平行四边形法则。 49 # *"瞬时性: f v a —某一时刻的瞬时量, 不同时刻不同。 # # 相对性: zlr —过程量 不同参照系中，同一质点运动描述不同; 不同坐标系中，具体表达形式不同。 #