高考数学浙江理科一轮【第三章】导数及其应用 第三章 3.3

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1、 精品资料 3.3　两角和与差的正弦、余弦、正切 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β) tan(α－β)＝　(Tα－β) tan(α＋β)＝　(Tα＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；

2、 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tαβ可变形为 tan αtan β＝tan(αβ)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－＝－1. 4． 函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)＝cos(α－φ)(其中tan φ＝)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是

3、任意的． (　√　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　√　) (3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定． (　　) (4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． (　　) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α. (　√　) (6)当α＋β＝时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. (　√　) 2． (2013浙江)已

4、知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于 (　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－.故选C. 3． (2012江西)若＝，则tan 2α等于 (　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，则tan 2α＝＝. 4． (2012江苏)设α为锐角，若cos

5、＝，则sin的值为________． 答案　 解析　∵α为锐角且cos＝， ∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sin 2cos －cos 2sin ＝sincos－ ＝－ ＝－＝. 5． (2013课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________. 答案　－ 解析　∵tan＝，∴tan θ＝－， 即解得sin θ＝，cos θ＝－. ∴sin θ＋cos θ＝－. 题型一　三角函数式的化简与给角求值 例1　(1)化简：(0<θ<π)． (2)求值：－sin 10(－tan 5)． 思维启迪　(1)分母为根式，可以利用二

6、倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分； (2)切化弦、通分． 解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0. 因此＝ ＝2cos . 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) ＝(2sin cos ＋2cos2)(sin －cos ) ＝2cos (sin2－cos2) ＝－2cos cos θ. 故原式＝＝－cos θ. (2)原式＝－sin 10(－) ＝－sin 10 ＝－sin 10 ＝－2cos 10＝ ＝ ＝ ＝＝. 思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)对

7、于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值． 　(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为________． (2)的值是 (　　) A． B． C． D． 答案　(1)　(2)C 解析　(1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋

8、tan tan ＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 题型二　三角函数的给值求值、给值求角 例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 思维启迪　(1)拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解　(1)∵0<β<<α<π， ∴－<－β<，<α－<π， ∴cos＝ ＝， sin＝ ＝， ∴cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝

9、2－1＝－. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝>0，∴0<α<， 又∵tan 2α＝＝＝>0， ∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0， ∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－. 思维升华　(1)解题中注意变角，如本题中＝(α－)－(－β)； (2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 　(1)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝

10、，cos(－)＝，则cos(α＋)等于(　　) A. B．－ C. D．－ (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于 (　　) A. B. C. D. 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)， ∵0<α<，则<＋α<，∴sin(＋α)＝. 又－<β<0，则<－<， 则sin(－)＝. 故cos(α＋)＝cos[＋α－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－) ＝＋＝，故选

11、C. (2)∵α、β均为锐角，∴－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－(－)＝. ∴β＝. 题型三　三角变换的简单应用 例3　已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. 思维启迪　(1)可将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式； (2)据已知条件确定β，再代入f(x)求值

12、． (1)解　∵f(x)＝sin＋cos ＝sin＋sin＝2sin， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. (2)证明　由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－， 两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤，∴β＝，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 思维升华　三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题． 　(1)函数f(x)＝sin x＋cos(＋x)的最大值为 (　　) A．2 B． C．1 D． (

13、2)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________． 答案　(1)C　(2)π 解析　(1)f(x)＝sin x＋cos cos x－sin sin x ＝cos x＋sin x＝sin(x＋)． ∴f(x)max＝1. (2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x) ＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－， ∴T＝＝π. 高考中的三角变换问题 典例：(9分)(1)若tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则＝________. (2)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于 (　　)

14、 A． B．或 C． D．2kπ＋(k∈Z) 思维启迪　(1)注意和差公式的逆用及变形； (2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角． 解析　(1)原式＝＝， 又tan 2θ＝＝－2， 即tan2θ－tan θ－＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝. ∵π<2θ<2π，∴<θ<π. ∴tan θ＝－，故所求＝＝3＋2. (2)由sin α＝，cos β＝且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝， 又0<α＋β<π，故α＋β＝. 答案　(1)3＋2　(2)

15、C 温馨提醒　三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解. 方法与技巧 1． 巧用公式变形： 和差角公式变形：tan xtan y＝tan(xy)(1∓tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝， 配方变形：1sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)有≥|y|. 3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化

16、成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范 1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值． A组　专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1． 若θ∈[，]，sin 2θ＝，则

17、sin θ等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()2， 又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝. 同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝. 2． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α＋＋β－＝α＋β， 所以α＋＝(α＋β)－，所以 tan＝tan ＝＝. 3． (2013重庆)4cos 50－tan 40等于

18、 (　　) A. B. C. D．2－1 答案　C 解析　4cos 50－tan 40＝ ＝＝ ＝＝＝. 4． 若tan α＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为 (　　) A．－ B. C. D. 答案　A 解析　由tan α＋＝得＋＝， ∴＝，∴sin 2α＝. ∵α∈(，)，∴2α∈(，π)， ∴cos 2α＝－. ∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝(－)＝－. 5． 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C等于 (　　) A. B.

19、 C. D. 答案　A 解析　由已知可得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)， ∴tan(A＋B)＝＝－， 又0

20、an α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 8． ＝________. 答案　－4 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 三、解答题 9． 已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解　由cos β＝，β∈(0，)， 得sin β＝，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝1. ∵α∈(，π)，β∈(0，)，∴<α＋β<， ∴α＋β＝. 10．已知α∈，且sin ＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的

21、值． 解　(1)因为sin ＋cos ＝， 两边同时平方，得sin α＝. 又<α<π，所以cos α＝－. (2)因为<α<π，<β<π， 所以－π<－β<－，故－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－＋＝－. B组　专项能力提升 (时间：30分钟) 1． 已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于 (　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案　A 解析　由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－. 又－<α<0，

22、所以sin α＝－. 故＝＝2sin α＝－. 2． 定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝， 又0<β<α<，∴0<α－β<， 故cos(α－β)＝＝， 而cos α＝，∴sin α＝， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－＝， 故β＝，选D. 3． 设x∈，则函数y＝的最小值为________． 答案　 解析　方法一　因为y＝＝，

23、 所以令k＝.又x∈， 所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．又kmin＝tan 60＝，所以函数y＝的最小值为. 方法二　y＝＝ ＝＝tan x＋. ∵x∈(0，)，∴tan x>0. ∴tan x＋≥2＝. (当tan x＝，即x＝时取等号) 即函数的最小值为. 4． 已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值． 解　(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－. ∵tan(α＋β)＝ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝. (2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝. 5． 已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－，f ＝，求cos(α＋β)的值． 解　(1)由T＝＝10π得ω＝. (2)由 得 整理得　∵α，β∈， ∴cos α＝＝，sin β＝＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝－＝－.