高考数学浙江理科一轮【第八章】立体几何 专题六

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1、 精品资料 专题六　高考中的圆锥曲线问题 1． 已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. 答案　8 解析　由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a， 又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 2． 设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 (　　) A. B．p C．2p

2、 D．无法确定 答案　C 解析　当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短， 这时x＝，∴y＝p，|AB|min＝2p. 3． 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 (　　) A．4 B．6 C．8 D．9 答案　D 解析　注意到P点在双曲线的右支上， 且双曲线右焦点为F′(4,0)， 于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4， 故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9， 当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立． 4． 在抛物线y＝2

3、x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 (　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 答案　B 解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l， AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|， ∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|， 当且仅当A、P、N三点共线时取等号． ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1， 则可排除A、C、D，故选B. 5． 设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则

4、等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案　B 解析　方法一　(特殊值法) 抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)， ∴＝＝－1＝－. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝x1x2＋y1y2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知： x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1. ∴＝－1＝－. 题型一　圆锥曲线的弦长问题 例1　设椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． 思维启迪　利用OC的斜率

5、和弦长分别寻求a，b的关系式，待定参数法求解椭圆方程． 解　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，C(xc，yc)． 那么A、B的坐标是方程组的解． 由ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减，得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 因为＝－1，所以＝， 即＝，又＝＝， 所以b＝a. ① 再由方程组消去y得 (a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， 由|AB|＝ ＝＝＝2， 得(x1＋x2)2－4x1x2＝4， 即()2－4＝4. ② 由①、②解得a＝，b＝， 故所求的椭圆的方程

6、为＋＝1. 思维升华　(1)求解弦长问题要注意利用数形结合的思想方法． (2)求弦长的思路：其一，当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点的坐标，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，然后根据两点间的距离公式|P1P2|＝求得弦长；其二，当直线方程写成形如y＝kx＋b(k∈R)时，弦长公式可表示为|P1P2|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 　如图，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0) 交于A、B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)． (1)求直线l的方程和抛物线C的方程； (2)若抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值． 解　(1

7、)由，得x2＋2pkx－4p＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk， y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4. ∵＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4) ＝(－4，－12)， ∴， 解得，故直线l的方程为y＝2x－2， 抛物线C的方程为x2＝－2y. (2)由，得x2＋4x－4＝0， ∴|AB|＝ ＝＝4. 设P(t，－t2)(－2－2

8、点坐标为(－2，－2)时， △ABP面积的最大值为＝8. 题型二　圆锥曲线中的范围、最值问题 例2　(2012浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，) 到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定 点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM 上． (1)求曲线C的方程及t的值． (2)记d＝，求d的最大值． 思维启迪　(1)依条件，构建关于p，t的方程； (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值． 解　(1)y2＝2px(p>0)的准线

9、x＝－， ∴1－(－)＝，p＝， ∴抛物线C的方程为y2＝x. 又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1. (2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)， 依题意，直线AB的斜率存在，且不为0， 设直线AB的斜率为k(k≠0)． 且A(x1，y1)，B(x2.y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k2m＝1， 所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， 所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 从而|AB|＝ |y1－y2|＝

10、 ＝2 ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立， 又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值为1. 思维升华　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 　已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2. (1)求椭圆方程； (2)求m的取

11、值范围． 解　(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在， 设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立， 即， 消y得，(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0， Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＝8(2k2＋4－m2)． 由根与系数的关系知. 又＝2， 即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)． ∴－x1＝2x2，∴x1＋x2＝－x2，x1x2＝－2x， ∴x1x2＝－2(x1＋

12、x2)2， ∴＝－2()2， 整理得(9m2－4)k2＝8－2m2. 又9m2－4＝0时不成立，所以k2＝>0， 得0， 所以m的取值范围为(－2，－)∪(，2)． 题型三　圆锥曲线中的定点、定值问题 例3　(2012福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶 点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上． (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q， 证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点． 思维启迪　既然圆过y轴上的点，即满足＝0，对任意P、Q恒成立可待定M(0， y1)，也可给定特殊的P点，猜

13、想M点坐标，再证明． (1)解　依题意，得|OB|＝8，∠BOy＝30. 设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30＝4，y＝|OB|cos 30＝12. 因为点B(4，12)在x2＝2py上， 所以(4)2＝2p12，解得p＝2. 故抛物线E的方程为x2＝4y. (2)证明　方法一　由(1)知y＝x2. 设P(x0，y0)，则x0≠0，由判别式法可得l的方程为 y＝x0x－x. 由得 所以Q为. 设M(0，y1)，令＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立． 由于＝(x0，y0－y1)，＝， 由＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0， 即(y＋y1－2)＋

14、(1－y1)y0＝0.(*) 由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立， 所以解得y1＝1. 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)． 方法二　由(1)知y＝x2，设P(x0，y0)，则x0≠0， 且l的方程为y＝x0x－x. 由得 所以Q为. 取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)， 以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2， 交y轴于点M1(0,1)或M2(0，－1)； 取x0＝1，此时P，Q， 以PQ为直径的圆为2＋2＝， 交y轴于点M3(0,1)、M4. 故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)． 以下证明点M(0,1)就是所要求

15、的点． 因为＝(x0，y0－1)，＝， 所以＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0. 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)． 思维升华　求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 　已知椭圆＋＝1上的两个动点P、Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2. 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A. 证明　P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2. 当x1≠x2时，由 得＝－. 设线段PQ的中点N(1，n)， 则kP

16、Q＝＝－， ∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)， ∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一个定点A(，0)． 当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)． 综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)． 题型四　圆锥曲线中的探索性问题 例4　已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中： x 3 －2 4 y －2 0 －4 (1)求C1，C2的标准方程； (2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直

17、线l的方程；若不存在，说明理由． 思维启迪　圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答． 解　(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)， 据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在C2上， 易求得C2的标准方程为y2＝4x. 设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)， 把点(－2,0)，(，)代入得， 解得，所以C1的标准方程为＋y2＝1. (2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l

18、的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)， 与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由 消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0， 于是x1＋x2＝， ① x1x2＝. ② 所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝k2[－＋1]＝－. ③ 由⊥，即＝0，得x1x2＋y1y2＝0. (*) 将②③代入(*)式，得－＝＝0， 解得k＝2，所以存在直线l满足条件， 且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0

19、. 思维升华　(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法． 　已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A、B两点，在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解　假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当直线

20、AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k(x＋1)， 联立 消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 则 所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2 ＝＋m2 ＝＋m2 ＝m2＋2m－－. 从而有6m＋14＝0，m＝－，此时＝. ②当坐标AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为 A(－1，)、B(－1，－)， 当m＝－时，亦有＝. 综上，在x轴上存在定点M(－，0)， 使为常数． (时间：8

21、0分钟) 1． 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点． (1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值； (2)如果＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点． (1)解　由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线

22、y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b. ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线l过定点(2,0)． ∴若＝－4，则直线l必过一定点(2,0)． 2． 已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2. (1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A； (2)设点A关

23、于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标． (1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2. 当x1≠x2时，由， 得＝－. 设线段PQ的中点为N(1，n)，∴kPQ＝＝－， ∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)， ∴(2x－1)n－y＝0， 该直线恒过一个定点A(，0)． 当x1＝x2时，线段PQ的垂直平分线也过定点A(，0)． 综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)． (2)解　由于点B与点A关于原点O对称， 故点B(－，0)． ∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]， |PB|2＝(

24、x1＋)2＋y＝(x1＋1)2＋≥， ∴当点P的坐标为(0，)时，|PB|min＝. 3． 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解　方法一　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)． 从而有解得 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t. 由 得3x2

25、＋3tx＋t2－12＝0. 因为直线l与椭圆C有公共点， 所以Δ＝(3t)2－43(t2－12)≥0， 解得－4≤t≤4. 另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4， 解得t＝2. 由于2∉[－4，4]， 所以符合题意的直线l不存在． 方法二　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 且有解得b2＝12，b2＝－3(舍去)． 从而a2＝16. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)同方法一． 4． 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为 F(0,1)，过抛物线上的异于顶点的不同两点A，B作抛物线的切线 AC，BD，与y轴分别交于C

26、，D两点，且AC与BD交于点M，直 线AD与直线BC交于点N. (1)求抛物线的标准方程； (2)判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解　(1)设抛物线标准方程C：x2＝2py(p>0)， 由焦点知p＝2，故所求方程为x2＝4y. (2)设A(x1，)，B(x2，)， 易知lAC：y＝x－，lBD：y＝x－， ∴C(0，－)，D(0，－)， lAD：y＝x－，lBC：y＝x－. 联立解得M(，)， 联立解得N(，)， ∴kMN＝0. 即直线MN的斜率为定值，且为0. 5． 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左，右顶点分别为A

27、，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0. (1)设动点P满足：|PF|2－|PB|2＝4，求点P的轨迹； (2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标； (3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)． (1)解　设P(x，y)，由题知F(2,0)，B(3,0)，A(－3,0)， 则|PF|2＝(x－2)2＋y2，|PB|2＝(x－3)2＋y2， 由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4， 化简，得x＝.故点P的轨迹方程是x＝.

28、(2)解　将x1＝2，x2＝分别代入椭圆方程， 并考虑到y1>0，y2<0，得M，N. 则直线MA的方程为＝，即x－3y＋3＝0 直线NB的方程为＝，即5x－6y－15＝0. 联立方程解得x＝7，y＝， 所以点T的坐标为. (3)证明　如图所示， 点T的坐标为(9，m)． 直线TA的方程为＝， 直线TB的方程为＝， 分别与椭圆＋＝1联立方程， 解得M， N. 直线MN的方程为 ＝. 令y＝0，解得x＝1，所以直线MN必过x轴上的一定点(1,0)． 6． (2013浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)． (1)求抛物线C的方程； (2)过

29、点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别 交直线l：y＝x－2于M、N两点，求|MN|的最小值． 解　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1. 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x1－x2|＝4. 由 解得点M的横坐标xM＝＝＝. 同理，点N的横坐标xN＝. 所以|MN|＝|xM－xN| ＝ ＝8 ＝. 令4k－3＝t，t≠0，则k＝. 当t>0时，|MN|＝2 >2. 当t<0时，|MN|＝2 ≥. 综上所述，当t＝－，即k＝－时， |MN|的最小值是.