【名校资料】人教A版理科数学高效训练：81 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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1、◆+◆◆二〇一九高考数学学习资料◆+◆◆ [A组　基础演练能力提升] 一、选择题 1．(2014年山西四校第二次联考)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，π)　　　　　　　　 B.∪ C. D.∪ 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π. 答案：B 2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析：由点斜式知y

2、－5＝－(x＋2)， 即3x＋4y－14＝0.[来源:] 答案：A 3．(2014年泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析：由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－23＋m＝0， 即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0. 答案：A 4．“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既

3、不充分也不必要条件 解析：当a＝0时， l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0， 此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．[来源:数理化网] 答案：C 5．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：∵直线l恒过定点(0，－)．

4、作出两直线的图象，如图所示， ∴从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为. 答案：B 6．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 解析：l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a. 可知l1的斜率是l2的纵截距，l1的纵截距是l2的斜率．在选项A中，l1的纵截距为正，而l2的斜率为负，不合题意，排除选项A.同理可排除选项C、D，故选B. 答案：B 二、填空题 7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________． 解析：当α∈时， k＝tan α∈； 当α∈ 时，k＝tan α∈[－

5、，0)． 综上k∈[－，0)∪. 答案：[－，0)∪ 8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 解析：设直线方程为＋＝1，则由题意知， ＋＝1.① 又|a||b|＝1， ∴|a||b|＝2.② 由①②可解得或. ∴所求直线方程为＋y＝1或x＋＝－1. 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 9．(2014年皖南八校联考)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________． 解析：∵两直线互相垂直， ∴a2b

6、－(a2＋1)＝0且a≠0， ∴a2b＝a2＋1， ∴ab＝＝a＋， ∴|ab|＝＝|a|＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)． 答案：2 三、解答题 10．求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－； (3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5. 解析：(1)设直线l在x、y轴上的截距均为a， 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)， ∴l的方程为y＝x， 即2x－3y＝0. 若a≠0，则设l的方程为＋＝1， ∵l过点(3,2)，∴

7、＋＝1， ∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0， 综上可知，所求直线的方程为 2x－3y＝0或x＋y－5＝0.[来源:] (2)设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－3＝－. 又直线经过点A(－1，－3)， 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (3)由题意，可设点B(x，－2x＋6)， 则|AB|＝＝5， 解得x＝1或x＝5. 故点B(1,4)或B(5，－4)．[来源:] 当点B坐标为(1,4)时， 直线AB的方程为x＝1； 当点B坐标为(5，－4)时，[来源:] 直线AB的方程为3x＋4y＋1＝0. 故所求直线的方程为x＝1或3

8、x＋4y＋1＝0. 11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解析：(1)当m＝－1时， 直线AB的方程为x＝－1， 当m≠－1时， 直线AB的方程为y－2＝(x＋1)． 即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0. (2)①当m＝－1时，α＝； ②当m≠－1时， m＋1∈∪(0，]， ∴k＝∈(－∞，－) ∪， ∴α∈∪. 综合①②知， 直线AB的倾斜角α∈. 12.(能力提升)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图所示)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测

9、量|AB|＝100 m，|BC|＝80 m，|AE|＝30 m，|AF|＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30,0)、F(0,20)， ∴EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)． 易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值， 在线段EF上取点P(m，n)， 作PQ⊥BC于点Q， PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S， 则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)． 又＋＝1(0≤m≤30)， ∴n＝20－m. ∴S＝(100－m)(80－20＋m) ＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)． ∴当m＝5时

10、，S取最大值，这时＝5∶1. 所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大． [B组　因材施教备选练习] 1．(2014年山师大附中模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________． 解析：∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象过定点A(1,1)． ∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1.(mn>0) ∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4.(当且仅当m＝n时取等号)． ∴＋的最小值为4. 答案：4 2．(2014年银川联考)已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 解析：由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程可表示为＋y＝1，x∈[0,2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以＋b＝1，a∈[0,2]，又＋b≥2，所以1≥2，解得0≤ab≤，当且仅当＝b＝，即P时，ab取得最大值. 答案： 高考数学复习精品 高考数学复习精品