清华大学断裂力学讲义Ch5_1

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1、第五章：J积分和M积分 J积分 HRR场 J积分的实验测量和数值计算 讨论 M积分 &裂力学中的三个守恒积分 2D （线积分） 能量释放率（缺陷相互作用） J积分 人=[(呵a-%%" 人 M积分 M =丄(性《 - %%声 Knowles-Sternberg L积分 乙=[乞即(+ ⑷—trUraXp yV J. K・ Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mec

2、hanics and Analysis, 44, 187-211 (1972). B. Budiansky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates・ Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973). J积分 John Douglas Eshelby J.D・ Eshelby, The force on an elastic singularity. Phil. Trans. Roy. Soc. London A 244, 87-1

3、11 (1951). J・D. Eshelby, The continuum theory of lattice defects. Solid State Physics 3, 79-144 (1956). James R・ Rice J.R・ Rice, A path in dependent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. J. Appl. Meeh. 35, 379-386 (1968). G.P. Cherepanov, Crac

4、k propagation in continuous media・ Journal of Applied Mathematics and Mechanics 31,503 (1967). G・P・ Cherepanov, Cracks in solids. International Journal of Solids and Structures 4, 811-831 (1968). J Integral Emmy Noether (1882-1935) The derivation of J as an example of Noethers theore

5、m. Noether I Theorem Any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law・ The action of a physical system is the integral over time of a Lagrangian function (which may or may not be an integral over space of a Lagrangian density function), from which

6、 the systems behavior can be determined by the principle of least action. The homogeneity of the material implies the path independence of J. http://en.wikipedia.org/wiki/Noethers_theorem 5.1 J积分的概念及其理论 ※背景和动机 Griffith的能量释放率G /对整个构型的能量判断来确定裂纹扩展，从理论角度讲上适 用范围广 /需要知道全场信息来确定能量随裂纹的变化，可操作性差 应力强度因子K

7、 /只需要裂尖附近的信息 /只对于脆性和小范围屈服情形适用 J积分 /仍采用能量分析的方法 /只需要J积分围道上的信息便可判断裂纹是否扩展。 /适用于非线性材料，且不限于小范围的修正 ※固定围道上的能量平衡 可以不再考察整个系统的能量平衡，而只考率围道内縮的能量 变化。针对于二维问题。 鋼为在时刻t由厂圈定且 固化在物质上的面积。储存在縮上 的能量随裂纹长度变化为 G5a = Q5q - SU (]) (2) Q和q分别为作用在围道上的广 义力和广义位移。写成关于时间的 变化率形式如下： )=丄b/%为应变能密度。 下面我们试图将这种能量平衡关系建立在随裂尖移动

8、的坐标系上 Ga = ※随裂尖移动围道上的能量卄 在一个随裂尖移动的坐标系 研究上述能量平衡。 x\（t） = XX — Q（f） , X = x2 （2）式右端第一项中 dt (2) 在移动坐标系下 % =佥（昭兀20 =佥（西-⑦3） ・dUa U =——- I dua ・加" =二 -a—- 1 X| ,x2 x2 / "dt Xi a(f) a(t+d) (2) 计算右端第二项,考察经历心前后縮和 A移中的能量变化，不失一般性，假设t 时刻As和4移重合 必)=必)+以) U l(1|| {t + A/) =

9、U j (t + A?)+U + A/ ) △3犷 \Ph &+&)- S (川-S (0+5 (t+Ar) 4多(f+NXsC+M+S/C+4) △4多=\un (t+^-Un (r)]- 4 (0+Uin (t+Ar) _ wnidTl △f/同 一 At/移=Uj {t + A?)— UI” {t + /V)= —A/ziJ 由此可得(Reynold输运定理) —f wdA = — f wdA—a [ wn.dT dt Au dt办移 」厂 ・ 叽 =—- 如Z — a—- dt , dx[ x2.t Get = d wdA =——f

10、 wdA—a f wn、djT dt呛移 」厂 \rtauadr- J积分 /流入围道的能通量 1) 0 定常裂纹扩展 /与Griffith能量释放率在 满足右列条件之一时相等 2） 已将能量释放率变成一条线 上的积分！！ ！ 3） 无限小围道（第一项1广"％f 第二项如何？ 超弹性材料（或形变塑性不卸载），」 材料沿X1方向均匀（见下页证明） 证明在超弹性材料（或形变塑性不卸载），且材料沿Q方向均匀时 f r du 、 d r ,

11、 dr- ——f wdA\ [J厂 Q dt X；,x2 dt移 =0 =r色團土辺必二 •移 dsn lJ dt J0 ，兀2，M二扁V 吗（兀：，兀2，"必 縮ij dt 超弹性材料（或形 变塑性不卸载）保 证W为单值 ，八2,"戶八2广一 、 材料沿Xi方向均 匀，但本构可以是 X2的函数 由虚功原理知（怎么来的？）（推导过程中要用到无体力条件） dr- dt仆 dt 6 小匕工丿必二0 lJ 若材料沿&和幻方向均不均匀，W二M切內,兀2） L示"X毛，M L示"仏（X，兀2，f），X +曲）,兀2 ＞上述推导不成立I J积

12、分概念引入推导思路总结 能量释放率的引入从整个系统的作功与能量平衡关系得到 =＞固定围道内的能量转化 =＞如何在随裂尖移动的坐标及围道下表示，在满足一定条 件的前提下，下述积分就是能量释放率，转化为围道上信 息的积分。 A = 屛 I”厂 满足下述条件之一 1） 定常裂纹扩展 2） 无限小围道（第一项） 3 ）超弹性材料（或形变塑性不卸载）,且 材料沿X1方向均匀 再看看J积分的定义，应该与路径无关？ X Vs闭口围道 再看看J积分的定义，应该与路径无关？ X Vs闭口围道 J积分 0 /流入围道的能通量 1) 定常裂纹扩展

13、 再看看J积分的定义，应该与路径无关？ X Vs闭口围道 /与Griffith能量释放率在 满足右列条件之一时相等 2） 已将能量释放率变成一条线 上的积分！！ ！ 3） 无限小围道（第一项『广朋->0） 第二项如何？ 超弹性材料（或形变塑性不卸载），且 材料沿Xi方向均匀（见下页证明） 仇严0,1 ”厂 人=\r^n\~na 2. 3. 4. 5. 我们将证明，在以上条件下，对 任意封闭围道 探J积分是在一定条件下与积分路径无关的守恒积分 1. 超弹性材料（或形变塑性不卸 载），

14、且材料沿Xi方向均匀， 无体力作用， 准静态， 围道内无奇点， 小变形 bjkuk,i 厂=。 所以J积分与路径无关 对于J1，显然在仃和匚段的积分为零，为什么?证明厶=二 仏_ 听皿 ” =o ：总的思路将环路积分转换为面内 积分。引入能动量张量(Eshelby): 耳j = wQj — crjkUki , 则 PijHj = — njCFjkUk i = HjCTjkUk i 人=-(啊-njjk% W = i P/M厂= R肿 =o 因为(2, 3) Rj,j = W,Qij —bjk,jUk,i ~ajkUkJj = % ~ajkjuk,i ~ajkukjj 上式右端

15、第二项bjk,jUk,i 下面我们证明右端第一和第三项可以抵消 (1) dw djk (1A5) "二 = b jk dxt uj,ki + Uk,ij)= - bjAj,ki + bjkllk,ij j，ki 1 1 =~akjuj,ki + ~a^u jkak,ij ~ jkllkjj +丁5叫为 ~ jkUkJj 得证 1•超弹性材料（或形变塑性不卸载），且材料沿Xi方向均匀; 2.无体力作用；3.准静态4.围道内无奇点；5.小变形 探J积分应用示例］I习题5-1、 右-您％咕”厂讨论 J积分的路径无关性带来的优点是可以选择最容易计算的路径 妙

16、/2 rz n w For this case J^G and we can easily evaluate the J intcgral around the contour shown. The integrand \anishes everywhere except the segmenf 匚 On this segmeit is easy to see that 有错误，请按平面应变和平面应 (l-v^)2 JJ力分别推导 while "门］can be made arbitrarily small by taking r. far ahead of the crac

17、k tip. Therefore, evaluating the intcgraL wc get 厂 E\2 Cr = :— (1-V)_/7  独J积分应用示例2： J积分与Dugdale -Barenblatt模型COD的关系 沿围道G有=o （假设屈服带无限薄） 其中理想弹塑性时说习二乞，=> J十 I 7 s t =dJ_ 、他 料，b , d：无量纲材料参数组合，久：参照应力 习题5-2\计算I. II型K场J积分，取圆形围道 J积分小结 从另一个角度可以理解能量释放率与加载方式无关 只需当前状态就能计算J积分。 ※丿积分的

18、另一种通过能量的定义一便于实验量测 u = 7Qdq , n = U-Qq = - qdQ Q, q分别为广义力和广义位移 =-\^dq |_ da 丄 J。da 测试多个不同裂纹长度的试件  ※以J积分作为断裂参量的断裂准则 J积分作为断裂参量具有下述优点: 1・J积分与路径无关，便于计算; 2. J积分代表驱动裂纹平移延展的广义能量力; 3. J积分在线弹性情况下，为Griffith的能量释放率（【之 题5-2\利用K渐近场及K与G的关系证明）；在非线性 弹性情况下，为能量释放率。 4. 5. 6. 在塑性形变理论不卸载的情况下，J积分具有能量差率 （解释）

19、 J积分与COD有简明的对应关系； 可直接由裂纹试件来实验测定J积分值（后面详细讲） J积分作为断裂参量的优点（续）: 1. 对J积分进彳亍量测的试件尺寸小于对K/c进行量测的试 件尺寸 /小范围屈服（SSY） K疋量测要求 2 a,c,B> 2.5 Z测量几再利用K疋珂d只要求 a,c,B> （由实验知） Q、q Q,g 2. J积分表征裂纹尖端处的场强度，且即可得裂尖场，类 似于线弹性断裂力学的K值（由下一讲可知） 探J积分的理论局限性 J积分路径无关性的一个重要前提是 超弹性材料（或形变塑性不卸载） 当裂纹未起裂时，这个条件能严格满足，故J积分断裂

20、准 则是准确和严格的。当含有塑性变形的裂纹扩展时，在裂 纹尾岸有塑性卸载，需意识到再使用J积分断裂准则只是 近似，需要用实验或理论来验证其适用性。 J积分的意义 1•具有热力学意义，能够描述流入裂尖端部的能量; 2•具有力学意义，能够描述裂尖场的强度； 3•具有几何学意义，能够反映裂尖的形貌。 5. 2 HRR 场(Hutchinson, Rice 和 Rosengren) 塑性幕硬化材料平面问题的静止裂纹尖端场 线弹性断裂力学在裂纹尖端存在渐近解，可以用单参数应 力强度因子K来表征其强度，渐近场称为K场。 非线性的幕硬化弹塑性断裂力学在裂纹尖端也存在渐近 解，可以用J积分

21、表征强度，渐近场称为HRR场。 John W. Hutchinson James R・ Rice J. R. Rice and G. F. Rosengren, "Plane Strain Deformation Near a Crack in a Power Law Hardening Material”，Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 16, 1968, pp. 1-12・ Hutchinson, J.W., " Singular Behavior at the End of a Tensile Crack in

22、a Hardening Material." J. Meeh. Phys. Solids, 16, 18-31 (1968) 在研究赛硬化材料的裂尖渐近场时，由于不再是线弹性了， 需先把材料的本构搞清楚，首先考虑 单向应力应变关系为塑性幕硬化，主要包括以下三种关系: ◊纯赛硬化 为什么要引入％S ◊弹性接纯赛硬化 ◊ Ramberg-Osgood 关系 "为幕硬化系数，〃为簸硬化指数。在裂纹尖端，三种关 系均可近似为 Jbo丿 为什么？  当单方向的应力应变关系已知，可采用J2形变理论推广为 多轴应力应变关系。 等效应力: 1 七b rb =CT..

23、 其甲lJ ,J 3 -齐山/为应力偏量。单向拉伸时等效应力6就 为拉伸应力b（【题5-刃验证一若未学过塑性力学的同学）。 按器形变理论可得多轴应力应变关系 上式基于以下几点: A sfj =硝 q 硝 since 硝 at thayrack tif J

24、证几何方程得到满足（为什么要有协调方程？） 〃 f f ） + 為一仇）一 2（心）=0 应力应变分量是0和r的齐次函数，所以控制方程是等规度方程, 有分离变量形式解存在 ①幺=両\（6）+/^（6）+••- t>s ①(匚3)= (e)+厂仏(&) + ・・・ t>s 类似于线弹性渐近场，HRR场对应首项（在裂尖占优主导） ①匕盼歸诵 K为奇异场强度幅值；莎依）按处0）= 1而归一化（稍后讨论）。 代入上页方程（哪个方程?），得关于处。）的控制方程。 d2 —n^s — 2)[zi(s — 2)+ 2〕 d de + 4(s _ 1)[(5 _ 2)+1]

25、控制方程为四阶齐次非线性常微分方程，还有一个未知特 征指数S，需要五个定解条件。 =0 < -~2 _ "（s - 2jn（5 - 2）+ 2] 2 • + 3（17）审 〜2 3「 6 =— $（2-s）0 +（/） \ + 4（5 — - 2）+1 」丿 d&J 齐次方程，要求归一化条件0（。） = 1定解。（齐次性保证人0（。）亦为解） 另外四个条件为裂纹表面应力自由条件为去穴=，5 rO 0=7T =0得 0（ ”） = 0（ ”） = 0 ①（r, 9） Krs$（0）6 =牛 + 卑 0=7T 杨书上印刷错误 5=①" 4l 对于纯I型

26、问题，由于对称性，只需求解上半平面，定解条件变为 0S）=ZS）=/（o）=Z（o）=o, 7（o）=i 为什么？ 求解s有两种途径，一是Hutchinson采用的求解特征值问题；二 是Rice利用J积分的有限性 ①（r如Kr^紛 Rice利用J积分的有限性来确定s 取以裂尖为中心，r为半径的圆，则 、 7 _ l_”z 2 当r位于K环域时，为_有限的非零常数。由j积分 的路径无关性，当r趋向裂尖时，J积分仍为一有限的非零常数, 推出

27、 = 7TT【越5-处＞ 即我们知道了应力函数的奇异性。 特征值S确定后，以纯I问题为例采用打靶法来求解两点边值问题。 d2 9 冷 de2 （_2沁_2）+2 旳十（2 —莎+讣+ 4“ — l）［n（5 — 2）+ 嶋（曙吩卜0 &（%）= &（%）= &（0）= &（0）= 0，（0）= 1 打靶法求解格式为 （1）由初值"（0）=1, 7（0）= 0, ^（O）=A, （0）= 0 出发求解; （2 ）用Ronge-Kutta法进行积分，得试探函数0（&）; （3 ）检查SA + 0SF是否小于夕,&为控制求解精度的小量。 若答案为是，则取3紛=屮紛;若答

28、案为否，则对A值修正后回第（1） 步重新求解。 至此我们已解得角分布函数，也知道应力函数的奇异性 还有一个问题没有解决，如何确定奇异场强度幅值斤？ 设法与同样描述非线性断裂的指标j积分联系起来。 如果斤已知，裂尖的应力应变为 1 — % = "+1 &a/3（0； h） n Sa/3 = r，J+[Sa/3（0\ n） ??可以计算J积分，建立奇异场强度幅值斤与J积分的 天糸。 需要注意的是角分布函数与幕硬化指数n有关 bap — b() Ua~^a HRR场 /7+1 K场（HRR场n = 1情形） J」"K： E 1 b邓二- 丿2时

29、 1 c —- 乙Q0 丿2册 1 、n+\ 7 必(&) ^occ^SqI nr y 8 — a 心（如） nr y n bJn ^^l时，HRR场的应力奇异性低于 K场，而HRR场的变形奇异性高于K场。 2・同弹性裂纹体的K 一样，J积分可度量裂纹尖端场的强度。 o 0 9 (b)

30、 Plane strain structure of Mode I crack-tip fields for (a) a power law hardening material, and (b) a perfectly plastic material. Plane stress structure of Mode I crack-tip fields for (a) a power law hardening material, and (b) a perfectly plastic material.

31、 当硬化指数宀即得理想弹塑性情形爲爲多叢 场）。也可以 应力间断线 图2. 14 HRR滑移线场 上图：平面应变Prandtl场’下图：平面应力Hutchinson场 45 HRR场小结 1.彻底放弃线性本构，而采用赛硬化本构 2.引入自动满足平衡方程的应力函数，代入本构和几何协 调方程，建立极坐标下的控制方程，考虑到裂纹面自由 及一些对称性条件得边界定解条件。 3. 由控制方程的特性推断出应力函数为变量分离形式的 多项展开，研究首项，即最奇异项。可以利用特征方程 法获考虑到J积分有限来确定这个奇异性。 4・奇异场幅值与J积分直接相关，类似应力强度因子K 是描述线弹性裂尖场的单参数,J积分是对应于HRR场的