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宜用反证法证明的几类命题
反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．
一、否定性命题
问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．
例1 求证：是无理数．
分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．
证明：假设不是无理数，即为有理数，则设＝ ，互质）从而 得，
上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立．
故是无理数．
例2 证明：一个三角形中不可能有两个直角．
分析：用三角形内角
2、和为证一个三角形中不存在两个直角．
证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设Ａ＝，Ｂ＝．
∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＋＋Ｃ＝＋Ｃ＞
这与三角形内角和定理矛盾． ∴ 假设不成立，即原命题成立．
二、“至少”或“至多”类命题
若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法．
例3 已知、、、Ｒ，且＝2（＋）
求证：方程＋＋＝０和＋＋＝０中，至少有一个方程有实根．
分析：“至少有一个”是“有一个”、 “有两个”，它的反面是“一个都没有”．
证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于０，即：
∴ ∵＝２（＋）代入上式得
，即．这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立．
故这两方程中，至少有一个方程有实根．
三、唯一性命题
若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法．
例4 求证：在一个平面内，过直线外一点P只能作出一条直线垂直于．
证明：假设过点Ｐ可以作两条直线垂直于直线如图，那么PAB＝PBA＝．
A
B
P
于是APB＋PAB＋PBA＞．
即PAB的内角和大于，
这与定理“三角形内角和等于”相矛盾，
故假设不成立．
新编高中数学北师大版选修22教案：第1章 复习点拨：宜用反证法证明的几类命题
