第四章 4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质(一)（导学案）高一新教材数学必修第一册（人教A版）

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1、 4．4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质(一) 学习目标　1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点． 知识点一　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0

2、数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 思考　对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？ 答案　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降． 当a>1时，对数函数的图象“上升”；当00，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 1．若函数y＝f(x)

3、是函数y＝3x的反函数，则f的值为________． 答案　－log32 解析　y＝f(x)＝log3x，∴f＝log3＝－log32. 2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是________．(填序号) 答案　③ 解析　由底数大于1可排除①，②，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)． 3．已知函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则函数y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 答案　增 解析　因为函数y＝ax在R上是增函数， 所以a>1，所以y＝logax在(

4、0，＋∞)上是增函数． 4．函数y＝logax＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________． 答案　(1,1) 解析　因为对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)， 所以函数y＝logax＋1的图象过定点(1,1)． 一、对数函数的图象及应用 例1　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0b>1 D．b>a>1 答案　B 解析　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知00，且

5、a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________. 答案　－2　2 解析　∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c， 得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2. (3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． 解　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． (教师) 延伸探究 1．

6、在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象． 解　因为f(x)＝log5|x|，所以g(x)＝log5|x－1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的． 2．在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象． 解　因为a＝5，所以h(x)＝|log5x|.h(x)的图象如图所示． 反思感悟　对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x

7、)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 跟踪训练1　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 答案　C 解析　∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数， ∴f(x)的图象关于y轴对称， 当x>0时，f(x)＝logax＋1是增函数； 当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数， 又∵图象过(1,1)，(－

8、1,1)两点，结合选项可知选C. (2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间． 解　函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示． 由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋∞)． 二、比较大小 例2　(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　) A．blog46>1，log32<1，所以b

9、较下列各组中两个值的大小： ①log31.9，log32； ②log23，log0.32； ③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)； ④log50.4，log60.4. 解　①因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数， 所以log31.9log21＝0，log0.32log0.32. ③当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 则有logaπ>loga3.14； 当0

10、，当a>1时，logaπ>loga3.14； 当00，且a≠1)； (2)log3

11、π，log2，log3. 解　(1)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又5.1<5.9，所以loga5.1loga5.9. 综上，当a>1时，loga5.1loga5.9. (2)∵log2＝log23， 又11， ∴log3π>log2>log3. 1．函数y＝loga(x－1)(0

12、是(　　) 答案　A 解析　∵0b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　A 解析　∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1， ∴a>b>c. 3．下列式子中成立的是(　　) A．log0.441.013.5 C．3.50.3<3.40.3

13、 D．log76log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C错，log76<10，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________. 答案　 解析　因为点在y＝f(x)的图象上， 所以点在y＝ax的图象上，则有＝， 所以a2＝2，又因为a>0，a＝. 5．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之

14、差为，则a＝________. 答案　4 解析　∵a>1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增， ∴loga(2a)－logaa＝， 即loga2＝，∴＝2，∴a＝4. 1．知识清单： (1)对数函数的图象及性质． (2)利用对数函数的图象及性质比较大小． 2．方法归纳：图象变换、数形结合法． 3．常见误区： 作对数函数图象易忽视底数a>1与0

15、单调递减， ∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. 2．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　) A．2 B. C．2或 D．3 答案　B 解析　方法一　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， 故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝. 方法二　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，∴函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，)，∴aa＝＝，即a＝. 3．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　) A．b

16、2. ∵c＝0.83.1，∴0b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　∵0＝1，∴c>a>b. 5．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　) 答案　B 解析　由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1

17、)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误． 又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，所以B正确． 6．函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________． 答案　(5,2) 解析　令x－4＝1得x＝5，此时y＝loga1＋2＝2， 所以函数y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2)． 7．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为________． 答案　[2，＋∞) 解析　当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2. 8．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，

18、则实数a的取值范围是________． 答案　(1,2) 解析　若f(x)，g(x)均为增函数，则 即10，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解　(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.31时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1<

19、loga5.2； 当0loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<， 即log30.23， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 10．已知f(x)＝|lg x|，且>a>b>1，试借助图象比较f(a)，f(b)，f(c)的大小

20、． 解　先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 由>a>b>1得f>f(a)>f(b)， 而f＝＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)． ∴f(c)>f(a)>f(b)． 11．函数f(x)＝lg|x|为(　　) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 答案　D 解析　已知函数定

21、义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减． 12．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x2

22、． 由图可知，x2f(2)，则a的取值范围为________________． 答案　∪(2，＋∞) 解析　作出函数f(x)的图象，如图所示， 由于f(2)＝f， 故结合图象可知02. 14．已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是________． 答案　 解析　要使函数f(x)的值域为R， 则必须满足 即所以－≤a<. 15．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　) 答案　D 解析　由f(x)的图象可知0