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1、（新教材）北师大版精品数学资料
综合法和分析法的应用
一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
三、教学方法： 探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习准备
1、已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想。
（答案：若，且，则 ）
2、已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
3、讨论：如何证明基本不等式。
2、
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
（二）、探析新课
1. 探析例题
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
②综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C
3、的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
④ 出示例2：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤出示例3：见练习册P11 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
⑥分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
4、（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
2、课堂练习：（1）、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
（2）、证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
（三）、 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要
5、的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。
（四）、作业布置：
1、为锐角，且，求证：. （提示：算）
2、 已知 求证：
3、 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
4、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
五、教学反思：
新教材高中数学北师大版选修22教案：第1章 综合法和分析法的应用 参考教案
