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1、"【备战2013】高考数学6年高考母题精解精析 专题17几何证明选
讲01理"
1.12012高考真题北京理 5】如图./ACB=9G0, CCL AB于点D,以BD为直径的圆与 BC交于 点.则（）
A. CE - CB=AD DB B. CE - CB=AD AB
C. AD - AB=CD2 D.CE - EB=CD2
-10 -
作OD的垂线交U O于点C,则CD的最大值为
E解析】在上d中，/ME=CELL AB于点D,所以。,由切割线定理的
CD1 =CE* CB,所以 CE • CB=AD - DB- 2.12012高考真题
2、湖北理151.（选修4-1 :几何证明选讲）
如图，点 D在LIO的弦AB上移动， AB=4,连接 OD过点
【答案】2
【解析】（由于8 _ C2因此3=J。，二-：,线段QC长为定值, 即需求解线段。□长度的最小值.根据弦中点到圆^的距离最矩，此 时。为A3的中点，点U与点君重合，因此CQ =二AB =2.
3.12012高考真题新课标理 22】（本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲
如图,
D,E分别为AABC边AB, AC的中点，直线 DE交
△ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB ,证明：
(1) CD =BC ;
(2) BCD L GBD
3、【答案】1)CF .必，DF BC = CF^D^D CD = BF
CF -4 = AF = BC = BC = CD
⑵ BC GF = BG = FC = BD
BC GF n GDE = RGD = = BDC = VS 二
4.12012高考真题陕西理15］（几何证明选做题）如图，在圆 。中，直径AB与弦CD垂直,
垂足为E, EF _L DB ,垂足为F,若AB = 6, AE =1 ,则
DF DB = ^
【答案】5,
【解析】二=;工隹接皿，则AJEQsSER,，二二三
DE BE
l 一 DF DE - —
;年=*,又 3FEsyj）
4、EB …——二——，即 OF 二九
一一一 一 丹 力R
5.12012高考真题辽宁理22］（本小题满分10分）选彳^4-1:几何证明选讲
如图，O O和O。/相交于A, B两点，过A作两圆的切
线分别交两圆于C, D两点，连接D所延长交。O于点E。 证明
（I）AC BD =AD AB ；
（n） AC=AE。
【答案】
(22)证明t
(I )由人6与。O’相切于4 得
CCAB = &。乩
同理 Z.ACH = LDAU.
所以^ACB^/\DAti.从而
AC AB
r 一 一 一. .
AD BD *
即 AC^BD- AD ^AB
(U )
5、rfMD与。。相切于人得 LAED = ABAD,
又4DE - / RDAt 得
△ EHDs△丹hd.从而
AE AD
AB 8D*
4分
fip AE ■ BD — AD * AR. **・・8 分
结合(i)的端论.AC-AE, ……10分 6.12012高考真题湖南理11】如图2,过点P的直线与圆O相交于A, B两点.若PA=1, AB=2, PO=3则圆。的半径等于.
【答案】- 6
【解析】设PO交圆。于C, D,如图，设圆的半径为 R,由割线定理知
PA PB =PC PD,即 1 父(1 +2) =(3- r)(3 +r),，r =76.
6、
7.12012高考真题广东理15](几何证明选讲选做题)如图所示，圆 。的半径为1, A、B、C
是圆周上的三点，满足/ ABC=30 ,过点A做圆。的切线与OCW延长线交于点 巳则
PA=.
8.12012高考真题天津理13】如图，已知 AB和AC是圆的两条弦，过点 B作
圆的切线与AC的延长线相交于点 D.过点C作BD的平行线与圆相交于点 E,与AB相交于点F,
AF=3, FB=1, EF=-,贝U线段 CD的长为.
2
连结 BG BE,则/ 1 = /2,
NA =/1 ,又/ B=Z B,二 ACBF sAABC，二—
7、—=——,——
AB BC AB
AC AF 4
AC=4,又由平行线等分线段定理得 〜=工，解得CD=4 .
CD FB 3
9.12012高考江苏21］［选彳4 - 1 :几何证明选讲］（10分）如图， 为圆上位于 AB异侧的两点，连结 BD并延长至点C ,使BD = DC , 求证：/E=/C.
4
E
- ，代入数值得BC=2
AC
AB是圆O的直径，D,E 连结 AC, AE,DE .
8、
【答案】证明二连接心.
，二一是曷0的直径一期必「兜：（直径所对的圆周角是直角L
--- AD^BD［垂直的定义工
又；3> =n（:, J 是线段3「的中垂线（线 F
离相等）.
二_3 = _U （等睡三角形等边对等角的性质工 A
又；DE为圆上位于VE异侧的两点，
.，5 ="（同弧所对圜周悔相等）.
二一三=_「f等量代换）口
【解析】要证一七三一C ,就得找一个中间量代换，一方面考虑到一E和一工是同理所对圆周 角.相等:另
一方面由H5是图0的直径和S3 = 口0可知上D是线段3t7的中垂线，从而根据线段中垂纬 上的点到线段两
9、端的距离相等和等蹲三角形等边对等角的性质得到一3二,从而得证， 【2011年高考近题】
一、选择题：
L（2011年高考北京卷理科）如图，AD, AE, 3C分别与扇O切于点D,己F,
延长怔与圆O交于另一点5给出下列三个结诒：
① A4AE=ABTCYAj r
②AF AG=AD AE
③△A75 〜AaDG
其中正确结论的序号是
4①② B.②
C.①③ D.①②③
【答案】&
E解析】由切线长定理得AD=AE,加BF,CE=CF,所以A5-3C-CA-.AB-3D-CE = 0-9,教
①正确，由切割线定理知，一山：A5 AG，故②正确，所以选A
二、填空题：
10、
1. （2011 年高考天津卷理科 12）如图,已知圆中两条弦 AB与CD相交于点F,E是AB延长线上
一点,且DF=CF=/2 ,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则线段CE的长为 ^
【答案】
所以CE二亡
■>
即=:即/ 二）面切割线定理得C: =EB Ei=~x: = 4
【解析】设台小工则由相交弦定理得DFZ=AF FB
2.
（2011年高考湖南卷理科 11）如图2, A,E是半圆周上的两个三等分点，直径 BC=4 AD）1 BG 垂足为D, BE与AD相交于点F,则的AF长为 ^
解析；如图2中，连接三C, A3Q5由A1是半圆周上的两
11、个三等分点可Mb /三五=.；。"且/八弓0是正三角形，所以EC名目E=二百，5 A1：且
_ >#如后*
Ar =电=---,故埴=一
评析，本小题主要萼查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用
3.（2011年高考广东卷理科15）（几何证明选讲选做题）如图 4,过圆O外一点P分别作圆
的切线和割线交圆于 A, B。且PB = 7 , C是圆上
一点使得 BC=5, /BAC=/APB,则
AB = __
【答案】,35.
【解析】由题得. PAB = . ACB ,二PAB
ABC
PB
AB
AB
BC
H AB: 35
12、
4. （2011年高考陕西卷理科 15）（几何证明选做题）如图 ZB =ZD,AE _L BC,
/ACD =900，且AB =6, AC =4, AD =12，则BE =
【答案】4.2
【解析】：；/ACD =90, AD =12, AC =4
CD = AD2 - AC2 = .122 -42 =8.2
又RtLABE与RtLADC所以 地=庄，即BE = 坦，DC =丝8，2 = 4石
一 AD DC AD 12
三、解答题：
1. （2011年高考辽宁卷理科 22）（本小题满分10分）选修4-1 :几何证明选讲
如图，A, B, C, D四点在同一圆上， A
13、D的延长线与BC的延长线交于 E点，且EC=ED.
（I）证明：CD//AB;
（II ）延长CD到F,延长DC到G使得EF=EG证明：A, B, G, F四点共圆.
解析：（）因为ESEJ所以WEDC=*ECD
因为：三匚二四点.在同一个圆］上，所以/三M二二三生，
所以Cd“三
（）由（）知，丽/三因为 故/三二二二三久,
从而/二三口二N&三匚
连接工二me,则△三二a空△三we,故/”三三/cm三，
又 QW, ZEZ< = ZEC：> 所以/二工Eu/wmx
所以达+ /合A二.鼠二，
故工三.♦二四点共圆
2. （2011年高考全国新课标卷理科
14、22）（本小题满分10分） 选彳4-1几何证明选讲
如图，D, E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知
AE = m, AC =n, AD, AB
为方程x2 —14x +mn =0的两根，
（1） 证明C,B,D,E四点共圆；
（2） 若/A=90；m =4,n =6,求C,B,D,E四点所在圆的半径。
（3） 分析：（1）按照四点共圆的条件证明； （2）运用相似三角形与圆、四边形、方程的性
质及关系计算。
解：（I）如图，连接 DEL,依题意在AADE,AACB中,
j n j ff
AD•AB^mn=AE^AC ..——=——由因为所以,
AC AB
15、LADE ^ACE,:.440E = ACB,.,.四点 C、B、6后共圆.
（口）当肉=4,用=6时，方程了‘- 14汗+留加=0的根X] = 2,叼=12.
因而，工0 = 2,j4f = 12,取E中点0三口中点二分别过Q二做迎-w的垂线*两垂线交于
点-，连接二J因为四点5小D、E共胤 所以，H为圆心，半径为DH.
⑥乙4= 90。GHHAB7HFHAC 所以，
HF =AG = 5>DF = ^x（12-2） = 5 口K = 5&
]1
点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的
作用。
3. （20U年高考江苏卷21）选修4-L几何证明选讲（本小题满分1。分） 如图，圆。：与圆。:内切于点其半径分别为』:与三稔> ；”，
圆。，的弦口3交扇a于点，《。不在.北上卜 L . J.
求证：MB: AU为定值.
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的到定及其性质，容易题.
j D f） D r
证明工由弦切角定理可得二aau二二一」。笈，=二」一二」
一 . AC O.C r
*
【备战2013】高考数学6年高考母题精解精析专题17几何证明选讲01理
