2016年浙江省温州市普通高中学业水平模拟考试数学试卷(解析版)

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1、 2016年浙江省温州市普通高中学业水平模拟考试数学试卷 　 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数f（x）=log3（x﹣1）的定义域是（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．{x∈R|x≠1} D．R 2．下列式子恒成立的是（　　） A．sin（α+β）=sinα+sinβ B．cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ C．sin（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ D．cos（α+β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ 3．已知数列{an

2、}是等比数列，若a2=2，a3=﹣4，则a5等于（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 4．已知cosα=﹣，且α是钝角，则tanα等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．下列四条直线，倾斜角最大的是（　　） A．y=﹣x+1 B．y=x+1 C．y=2x+1 D．x=1 6．若正方形ABCD的边长为1，则•等于（　　） A． B．1 C． D．2 7．已知sinθ＜0，cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．双曲线x2﹣=1的离心率是（　　） A． B． C． D．2 9．在空间中，设

3、m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α且α∥β，则m∥β B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n C．若m⊥α且α∥β，则m⊥β D．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n 10．“a＜0”是“函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知a，b∈R，则使不等式|a+b|＜|a|+|b|一定成立的条件是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0 12．在正三棱锥S﹣ABC中，异面直线SA与BC所成角

4、的大小为（　　） A．30 B．60 C．90 D．120 13．直线xcosθ+ysinθ=1与圆x2+y2=1的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都有可能 请预览后下载！ 14．若将函数y=sin（2x+）的图象向左平移m个单位可以得到一个偶函数的图象，则m可以是（　　） A． B． C． D． 15．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45，则该正四棱锥的体积是（　　） A． B． C． D． 16．已知实数x，y满足，则x+3y的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 17．设函数f（x）=若不等式f（x﹣1）+f（）＞

5、0对任意x＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（，） B．（0，） C．（，+∞） D．（1，+∞） 18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（　　） A． B． C．2 D． 　 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 19．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x＞0}，则A∩B=______，（∁RB）∪A=______． 20．已知向量=（1，2），=（﹣2，t），若∥，则实数t的值是______． 21．已知数列{an}是等差数列，{b

6、n}是等比数列，若a1=2且数列{anbn}的前n项和是（2n+1）•3n﹣1，则数列{an}的通项公式是______． 22．已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，C﹣B=，则c﹣b的取值范围是______． 请预览后下载！ 　 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R． （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅲ）求函数g（x）=f（x+）+f（x+）的最小值． 24．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q． （

7、Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程． 25．设a∈R，函数f（x）=|x2+ax| （Ⅰ）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围； （Ⅱ）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值． 　 请预览后下载！ 2016年浙江省温州市普通高中学业水平模拟考试数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数f（x）=log3（x﹣1）的定义域是（　　） A．（1，+

8、∞） B．[1，+∞） C．{x∈R|x≠1} D．R 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由题中函数的解析式，我们根据使函数的解析式有意义，即真数部分大于0的原则，构造关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围即可． 【解答】解：要使函数f（x）=log3（x﹣1）的解析式有意义， 自变量x须满足：x﹣1＞0， 解得x＞1． 故函数f（x）=log3（x﹣1）的定义域是（1，+∞）， 故选：A． 　 2．下列式子恒成立的是（　　） A．sin（α+β）=sinα+sinβ B．cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ C．sin（α﹣β）=cosαcosβ

9、﹣sinαsinβ D．cos（α+β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ 【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式，得出结论． 【解答】解：根据两角和差的正弦公式、余弦公式可得cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ恒成立， 故选：B． 　 3．已知数列{an}是等比数列，若a2=2，a3=﹣4，则a5等于（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】先设{an}是等比数列的公比为q，根据a2=2，a3=﹣4，求出等比数列的公比q，然后利用等比数列的通项公式计

10、算，则答案可求． 【解答】解：设{an}是等比数列的公比为q， ∵a2=2，a3=﹣4， ∴q=， 由a2=a1q，得a1=﹣1． 则a5==﹣1（﹣2）4=﹣16． 故选：D． 　 请预览后下载！ 4．已知cosα=﹣，且α是钝角，则tanα等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式即可求tanα的值． 【解答】解：∵cosα=﹣，且α是钝角， ∴sinα==， ∴tanα==﹣． 故选：C． 　 5．下列四条直线，倾

11、斜角最大的是（　　） A．y=﹣x+1 B．y=x+1 C．y=2x+1 D．x=1 【考点】直线的倾斜角． 【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率得出直线的倾斜角． 【解答】解：直线方程y=﹣x+1的斜率为﹣1，倾斜角为135， 直线方程y=x+1的斜率为1，倾斜角为45， 直线方程y=2x+1的斜率为2，倾斜角为α（60＜α＜90）， 直线方程x=1的斜率不存在，倾斜角为90． 所以A中直线的倾斜角最大． 故选：A． 　 6．若正方形ABCD的边长为1，则•等于（　　） A． B．1 C． D．2 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】直接利用向量的

12、数量积求解即可． 【解答】解：正方形ABCD的边长为1，则•=||•||cos＜，＞==1． 故选：B． 　 7．已知sinθ＜0，cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】三角函数值的符号． 【分析】由sinθ＜0和cosθ＜0分别可得角θ的终边所在的象限，取交集即可． 【解答】解：由sinθ＜0可得角θ的终边所在的象限为三或四， cosθ＜0可得角θ的终边所在的象限为二或三， 请预览后下载！ ∴角θ的终边所在的象限为：第三象限， 故选：C． 　 8．双曲线x2﹣=1的离心率是（　　） A

13、． B． C． D．2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】直接利用双曲线方程，求解即可． 【解答】解：双曲线x2﹣=1，可知a=1，b=，c=2， 可得离心率为： =2． 故选：D． 　 9．在空间中，设m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α且α∥β，则m∥β B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n C．若m⊥α且α∥β，则m⊥β D．若m不垂直于α，且n⊂α，则m必不垂直于n 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在A中，m∥β或m⊂β；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得m⊥β；

14、在D中，m有可能垂直于n． 【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知： 在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误； 在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误； 在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故C正确； 在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故D错误． 故选：C． 　 10．“a＜0”是“函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

15、【分析】利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增，则a≤1， ∴“a＜0”是“函数y=x2﹣2ax在区间[1，+∞）上递增”的充分不必要条件． 故选：A． 　 11．已知a，b∈R，则使不等式|a+b|＜|a|+|b|一定成立的条件是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0 请预览后下载！ 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】通过分析a，b的符号，判断即可． 【解答】解：ab＞0时，|a+b|=|a|+|b|， ab＜0时，|a+b|＜|a|+|b|， 故选：D． 　 12．在正三棱锥

16、S﹣ABC中，异面直线SA与BC所成角的大小为（　　） A．30 B．60 C．90 D．120 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】取BC中点O，连结AO、AO，推导出BC⊥平面SOA，从而得到异面直线SA与BC所成角的大小为90． 【解答】解：取BC中点O，连结AO、AO， ∵在正三棱锥S﹣ABC中，SB=SC，AB=AC， ∴SO⊥BC，AO⊥BC， ∵SO∩AO=O，∴BC⊥平面SOA， ∵SA⊂平面SAO， ∴BC⊥SA， ∴异面直线SA与BC所成角的大小为90． 故选：C． 　 13．直线xcosθ+ysinθ=1与圆x2+y2=1的位置关系是（　

17、　） A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都有可能 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】圆x2+y2=1的圆心（0，0），半径r=1，求出圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ=1的距离，从而得到直线xcosθ+ysinθ=1与圆x2+y2=1的位置关系． 【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0），半径r=1， 圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ=1的距离d==1=r， ∴直线xcosθ+ysinθ=1与圆x2+y2=1的位置关系是相切． 故选：A． 　 请预览后下载！ 14．若将函数y=sin（2x+）的图象向左平移m个单位可以得到一个偶函数的图象

18、，则m可以是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，得出结论． 【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移m个单位可以得到y=sin[2（x+m）+]=sin（2x+2m+）的图象， 根据y=sin（2x+2m+）为偶函数，可得2m+=kπ+，即m=+，k∈Z， 则m可以是， 故选：D． 　 15．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45，则该正四棱锥的体积是（　　） A． B． C． D． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【

19、分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算． 【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD的中心． 连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45． 设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=， ∴SE==． 在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2， ∴3=，解得a=2． ∴SO=1， ∴棱锥的体积V==． 故选B． 请预览后下载！ 　 16．已知实数x，y满足，则x+3y的最小值是（　　） A．2 B．3 C

20、．4 D．5 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+3y得y=﹣， 平移直线y=﹣， 由图象可知当直线y=﹣经过点A（3，0）时，直线y=﹣的截距最小， 此时z最小．代入目标函数得z=3+30=3． 即z=x+3y的最小值为3． 故选：B． 　 请预览后下载！ 17．设函数f（x）=若不等式f（x﹣1）+f（）＞0对任意x＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（，） B．（0，） C．（，+∞） D．（1，+∞） 【考点】简

21、单线性规划． 【分析】由函数解析式判断出函数的奇偶性和单调性，把不等式f（x﹣1）+f（）＞0对任意x＞0恒成立转化为对任意x＞0恒成立，分离参数m后利用配方法求出函数最值得答案． 【解答】解：由f（x）=， 设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣2x﹣1=﹣（2x+1）=﹣f（x）， 设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣2x+1=﹣（2x﹣1）=﹣f（x）， ∴函数f（x）为定义域上的奇函数． 其图象如图： 由图可知，函数为定义域上的增函数， 由f（x﹣1）+f（）＞0对任意x＞0恒成立，得 f（）＞﹣f（x﹣1）=f（1﹣x）对任意x＞0恒成立， 即对任意x＞0恒成立

22、， ∴m＞﹣x2+x对任意x＞0恒成立， ∵（当x=时取等号）， ∴m． 故选：C． 请预览后下载！ 　 18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（　　） A． B． C．2 D． 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），设M（0，1，t），D1（0，0，z），（z≥t≥0，z≠0）．由MD1⊥MA，可得•=0，z﹣t=．代入=|AM||MD1|，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐

23、标系． D（0，0，0），设M（0，1，t），D1（0，0，z），A（，0，0），（z≥t≥0，z≠0）． =（0，﹣1，z﹣t），=（﹣，1，t）， ∵MD1⊥MA，∴•=﹣1+t（z﹣t）=0，即z﹣t=． =|AM||MD1|= == =≥=， 当且仅当t=，z=时取等号． 故选：A． 请预览后下载！ 　 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 19．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x＞0}，则A∩B=　{x|0＜x＜2}　，（∁RB）∪A=　{x|x＜2}　． 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】由A与B，求出两集合的交集，

24、找出B补集与A的并集即可． 【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x＞0}， ∴A∩B={x|0＜x＜2}，∁RB={x|x≤0}， 则（∁RB）∪A={x|x＜2}， 故答案为：{x|0＜x＜2}；{x|x＜2} 　 20．已知向量=（1，2），=（﹣2，t），若∥，则实数t的值是　﹣4　． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式求得t值． 【解答】解： =（1，2），=（﹣2，t）， 由∥，得1t﹣2（﹣2）=0，解得：t=﹣4． 故答案为：﹣4． 　 21．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，若a

25、1=2且数列{anbn}的前n项和是（2n+1）•3n﹣1，则数列{an}的通项公式是　an=n+1　． 【考点】数列的求和． 【分析】根据当n=1时，求得b1=4，写出Tn=（2n+1）•3n﹣1，Tn﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1﹣1，两式相减求得： anbn=4（n+1）•3n﹣1，得到bn=4•3n﹣1，an=n+1． 【解答】解：{anbn}的前n项和Tn=（2n+1）•3n﹣1， {bn}是等比数列，公比为q，数列{an}是等差数列，首项a1=2，公差为d， a1=2，a1b1=3•3﹣1，b1=4， ∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（2n+1）•3n﹣1

26、， a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1=（2n﹣1）•3n﹣1﹣1， 两式相减得：anbn=4（n+1）•3n﹣1， ∴bn=4•3n﹣1，an=n+1， 请预览后下载！ 故答案为：an=n+1． 　 22．已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，C﹣B=，则c﹣b的取值范围是　（，1）　． 【考点】三角函数的最值． 【分析】用B表示出A，C，根据正弦定理得出b，c，得到c﹣b关于B的函数，利用B的范围和正弦函数的性质求出c﹣b的范围． 【解答】解：∵C﹣B=， ∴C=B+，A=π﹣B﹣C=﹣2B， ∴sinA=cos2B，

27、sinC=cosB， 由A=﹣2B＞0得0＜B＜． 由正弦定理得， ∴b==，c==， ∴c﹣b===． ∵0＜B＜，∴＜B+＜． ∴1＜sin（B+）． ∴． 股答案为（，1）． 　 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R． （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅲ）求函数g（x）=f（x+）+f（x+）的最小值． 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的最值． 【分析】（Ⅰ）直接利用条件求得f（）的值． （Ⅱ）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，可得函数f（x）的最小正周期． 请

28、预览后下载！ （Ⅲ）由条件利用两角和的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得g（x）取得最小值 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx+cosx，∴f（）=sin+cos=1． （Ⅱ）因为f（x）=sinx+cosx=sin（x+），所以函数f（x）的最小正周期为2π． （Ⅲ）因为g（x）=f（x+）+f（x+）=sin（x+）+sin（x+π）=（cosx﹣sinx）=2cos（x+）， 所以当x+=2kπ+π，k∈Z时，即x=2kπ+，k∈Z时，函数g（x）取得最小值为﹣2． 　 24．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一

29、点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意得=， +=1，a2=b2+c2．解出即可得出； （Ⅱ）由题意得点Q（2，0），设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）， 由

30、题意得=， +=1，a2=b2+c2． 请预览后下载！ 解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： ==1． （Ⅱ）由题意得点Q（2，0）， 设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2）， 由3+=，得3y1+y2=0， y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*） 将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0， ∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=， ∴直线l的方程为：y=（x﹣2）． 　 25．设a∈R，函数f（x）=|x2+ax

31、| （Ⅰ）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围； （Ⅱ）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值． 【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明． 【分析】（Ⅰ）分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，运用单调性，判断求解； （Ⅱ）对a讨论，分a≥0时，a＜0，再分a≤﹣2时，﹣2＜a≤2﹣2，a＞2﹣2，运用单调性，求得最大值；再由分段函数的单调性，求得最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=x2+ax， △=a2，x=﹣为对称轴， ①当a=0时，g（x）=x2， ∴|g（x）|在x∈[0，1]上单调递增， ∴a=0符合题意

32、； ②当a＞0时，g（0）=0，x=﹣＜0， ∴|g（x）|在x∈[0，1]上单调递增， ∴a＞0，符合题意； ③当a＜0时，△=a2＞0，g（0）=0， ∴|g（x）|在x∈[0，﹣]上单调递增， 即只需满足1≤﹣，即有a≤﹣2； ∴a≤﹣2，符合题意． 综上，a≥0或a≤﹣2； 请预览后下载！ （Ⅱ）若a≥0时，f（x）=x2+ax，对称轴为x=﹣， f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=1+a； 若a＜0，则f（x）在[0，﹣]递增，在（﹣，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增， 若1≤﹣，即a≤﹣2时，f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=﹣a﹣1； 若﹣＜1≤﹣a，即﹣2＜a≤2﹣2，可得f（x）的最大值为M（a）=； 若1＞﹣a，即a＞2﹣2，可得f（x）的最大值为M（a）=1+a． 即有M（a）=； 当a＞2﹣2时，M（a）＞3﹣2； 当a≤﹣2时，M（a）≥1； 当﹣2＜a≤2﹣2，可得M（a）≥（2﹣2）2=3﹣2． 综上可得M（a）的最小值为3﹣2． 　 请预览后下载！ 2016年9月20日 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 请预览后下载！