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大家应该都知道著名的海伦-秦九韶公式吧,那就是
根号下P(P-A)(P-B)(P-C)注: P=(A+B+C)/2
可是数学书上并没有这个公式的推导过程,本来我也不想去费脑细胞去推导这个这个公式,可是有一天我同桌和我比谁先推导出这个公式.所以我就推了一下,没想到古人的公式竟然被我在十几分钟内推导完成.以下就是我的推导过程:
首先随意画一个三角形设三边分别是A,B,C
做B边的高,设被高分成两条线段的B边的其中一段为X,另一段为B-X则根据勾股定理可得方程
A^2-X^2=C^2-(B-X)^2
A^2-X^2=C^2-B^2+2BX-X^2
2、A^2=C^2-B^2+2BX
2BX=A^2+B^2-C^2
X=(A^2+B^2-C^2)/2B
所以高=根号下A^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4B^2
=根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2
所以S三角形=高*B*0.5
=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2*B^2
=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4
=0.5*根号下A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4
=根号下1/4【A^2*B^2-(「A^2+B^2-C^2」/2)^2】
=
3、根号下(AB/2)^2-(「A^2+B^2-C^2」/4)^2
=根号下(AB/2+「A^2+B^2-C^2」/4)(AB/2-「A^2+B^2-C^2」/4)
=根号下(「2AB+A^2+B^2-C^2」/4)(「2AB-A^2-B^2+C^2」/4)
=根号下(「A+B」^2-C^2)/4*(C^2-「A-B」^2)/4
=根号下(A+B+C)/2*(A+B-C)/2*(B+C-A)/2*(A+C-B)/2
=根号下P(P-2C/2)(P-2A/2)(P-2B/2) 注:P=(A+B+C)/2
=根号下P(P-C)(P-A)(P-B)
有了这个公式只要把三角形的三边长带入就可以求出三角形的面积
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记入史册的海伦-秦九韶公式的证明(共2页)
