2019-2020年高中数学高考复习《立体几何大题》习题附详细解析

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1、2019-2020年高中数学高考复习《立体几何大题》习题附详 细解析 1 .长方体 ABCD —A1B1c1D1 中，AB = BC=1, AA1 = 2 , E 曷则棱 BB1 中点 (I)求直线 AA1与平面 AC1 E所成角的大小(n)求二面角 E 3c1 _B的大小 (m)求三棱锥 e -AD1 C1的体积 2 .如图，在正三棱柱 ABC-ABG中，底面边长是 2, D是^^BC的中点，点 M在^程BB〔上, 1 且 BM=-B1M,又 CM_LAG. 3 (I )求证：A1B〃平面AC1D ( n )求三棱锥 B1-ADG体积. 3 .如图，四面体 ABCD 中，

2、O、E 分别是 BD> BC 的中点，CA=CB =CD =BD =2,AB =AD =^2 (I)求证：AO _L平面BCD (II)求异面直线 AB与CD所成角余弦值的大小 A M D O B E C (III)求点E到平面ACD的距离 4 .已知四棱锥 P—ABCD的底面是正方形，P—底面ABCD.异面直线 PB与CD所成的角为 45 .求：(1)二面角B-PC-D的大小(2)直线PB与平面PCD所成角大小 5 .四棱锥P- ABCD中，PAX ABCD,四边形 ABCD是矩形.E、F分别是AB PD的 中点.若PA=AD=3, CD=^6 . (I)

3、求证：AF〃平面PCE (II)求点F到平面PCE的距离; (III)求直线FC与平面PCE所成角的大小 立体几何大题答案 1 .长方体 ABCD —A1B1c1D1 中，AB = BC=1, AA1 = 2 , E 曷则棱 BB1 中点 (I)求直线 AA1与平面 AC1 E所成角的大小(n)求二面角 E 3c1 _B的大小 (m)求三棱锥 e -AD1 C1的体积 答案：(D arcsine (II )arccos噂 (川)D1 与面AEC1 距离 Vd「AEj 2.如图，在正三棱柱 ABC-ABiCi中，底面边长是 2, D是棱BC的中点，点 M在^^B0上

4、, 1 且 BM=- B1M,又 CM _LAG. 3 (I )求证：A1B〃平面AC1D ( n )求三棱锥 B1-ADG体积. 答案：提示：⑴连接AC,交AC1于点E,连接DE,则DE是AABC的中位线，de〃ab, 又 DE U面ADC1 ,A[B 0面ADC1,「. AB〃面AC1D . (2)在正三棱锥ABC—A1B1cl中，D是BC的中点，则AD _L^BCC1B1,从而AD _L MC , 又CM _L AC1，则CM和面ADC 1内的两条相交直线 AD, AC 1都垂直，:MC 1面ADC 1, 于是CM _LDC1,则/CDC1与/MCB互余，则tan/CDC

5、 1与tan/MCB互为倒数，易得 AA1 =2。2 ,连结 B1D, 二三棱锥B1 -ADC1的体积为 二 S加C1D =2,2 丁 AD _1面8储1口, 方法2：以D为坐标原点，DC,DA为x,y轴，建立空间直角坐标系，设BB1 = h,则 D(0,0,0), B(-1,0,0) , C(1,0,0) , A(0,V3,0) , B1(-1,0,h) , C1(1,0,h) , A1(0,V3,h), 设平面AC1D的 h M(-1,0,-) , A1B =(-1,-V3,-h) , AD =(Q-J3,0),C1A =(-1,”,-h) 4 T 法向量n = (x,

6、 y, z),则 ADn=。= \=(h,0,-1),；前，；・. C1An=0 (2) CM =(-2,0,h), AC1 =(1,-x/3,h)，cm _LaCi ,Cm aci=—2+工=0， 4 4 AB 〃面 AC1D , h =2, 2 .平面 AC1D 的 法向量为 nt=(2%2,0,-)， B1A=(1,s|r3,-2V2)点 B1(-1,0,2v2)至U 平面 AC1D 的距离 B1A n’  3.如图, 四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD> BC 的中点，CA=CB =CD =BD =2，AB =AD =72 (I)求证: AO_

7、L平面BCD (II)求异面直线 AB与CD所成角余弦值的大小 (III)求点 E到平面ACD的距离. 答案：方法一: ⑴证明：连结 OC ：BO=DQAB=AD，. AO—BD. A ；BO=DQBC=CD,j.CO_LBD 在 MOC 中，由已知可得 AO =1,CO =73.而 AC = 2 -AO2 -+CO2 吊C 2, J.ZAOC =90,即 AO _LOC. (II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、 OE,由E为BC的中点知 ME// AB B E O :bdPIoc =o, AOL BCD 二直线OE与EM所成的锐角就是异面直线 AB与C

8、D所成的角 1 .2 八 1 _ EM = - AB =—,OE=-DC=1, 在 AOME 中 2 2 2 0M是直角&A0c斜边AC上的中线，,0M 二异面直线AB与CD所成角的大小为 2 arccos— 4 (III)解：设点E到平面ACD的距离为 h. V Ve JACD 二 Va CDE , 1 1 ..h.S acd =一.AO.S cde . 3 3 在国CD中, CA =CD =2, AD = . 2, 1 - 二一AC 二1, 2 S ACD 1 2 .22一(、2)2 二-7 2.22 AO 而 _1 S _1 3 22 _

9、.3 _1,S CDE -- "4 2 __2 1 _J AO.S CDE」T -21 ，点E到平面ACD的距离为 7 方法二： (II)解：以 (I)同方法一. O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0), D(T,0,0), c(o, 3,o) 13T 丁 心0,1)%，石MACODCDy, — 3,0). T - BA.CD ^2 cos

10、法向量为 n =(x, y,z),则 pACHx,yNga/a j3y

11、D=Z CEB=90，/BED 就是二面角 B-PC- D 的平面角. PBMBC _6 a 设 AB刊则 BD=PB=2a, PC=4& , BE=DE= PC - 3 , BE2 -DE2 _BD2 1 cos/ BED=2BEMDEF,/BED=120 即二面角 B-PC-D 的大/」、为 120 (2)还原棱锥为正方体 ABCD-PB1C1D1,作BF, CB1于F, •・平面 PB1C1D仕平面 B1BCC1, • . BFL平面 PB1CD, 连接PF则/BPF就是直线PB与平面PCD所成的角 1 BF= 2 a,PB= 2a,sinZ BPF=2 ,Z BPF=

12、30 . 所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30 5.四棱锥P- ABCD中，PAX ABCD,四边形 ABCD是矩形.E、F分别是AB、PD的 -4 / . 中点.右PA=AD=3, CD=x6 . (I)求证：AF〃平面PCE (II)求点F到平面PCE的距离; (III)求直线FC与平面PCE所成角的大小 解法一：(I)取PC的中点G,连结EG FG,又由F为PD中点, 1 Q - AE 〃 —CD,二 FG//AE. 又由已知有 2 ••・四边形AEGF是平行四边形.二AF // EG. 又AF 平面PCE，EG 平面PCE. 二 AF //平面

13、PCE (II) 丁 PA _L 平面 ABCD, 二平面PAD _L平面ABCD. 由ABCD是矩形有CD _L AD. 「.CD _L平面PAD. AF _ CD 又PA = AD =3,F是PD的中点, AF _ PD. PD CD = D, - AF _L 平面 PCD. 由EG〃 AF, - EG _L平面 PCD. 一平面PCD内，过F作FH _LPC于H, 由于平面PCD门平面PCE =PC,则FH的长就是点F到平面PCE的距离. 由已知可得 PD =3 2, PF =3 2,PC =2 6. 由于CD _面PAD, ・点F到

14、平面PCE的距离为_3，2 4 , ,CPD =30. 1 3 — FH =_PF =_ 2. 2 4 (川)由(H)知/FCH为直线FC与平面PCE所成的角. 3 - 在Rt"DF 中,CD =、6,FD =-、N, 2 ,FC = CD2 FD2 =-42. 2 FH 21 ,sin FCH = FC 14 二直线FC与平面PCE所成角的大小为 .21 arcsin — 14 解法二: A (0, 0, 0), P (0, 0, 3), D (0, 3, 0), 6 E (为 3 2), C 3, 0) (I)取PC的中点 (上

15、 G,连结EG,则2 ,2 -AF =(0,-,-),EG =(0,3,3), , 2,211 , 2,2 /, .AF // EG. 即 AF// EG. 又AF 平面PCE, EG鼻平面PCE, . AF //平面 PCE. (II)设平面PCE法向量 — - <6 -二 <6 n =(X y, z), EP =(——,0,3), EC =(一 ,3,0). 3 2 F (0, ,0, 0), C n EP =0, n EC =0. 取 y = _1,彳tn x 3z =

16、 0, 即2 —x 3y =0. 2 二(6, -1,1). 3 3 又PF =(0, _,__), 2 2 故点F到平面PCE的距离为 |n| 3, 2 2 2. 2 FC = ( 6 ,—, (III) 2 —— | FC n | 3 |cos :二 FC,n | = J = |FC| |n| 21 2 2 2 .21 arcsin 一 二直线FC与平面PCE所成角的大小为 14 9.已知在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形, ，平面 ABCD, E、F、G分别是 PA PR BC的中点. △ PAD是正三角形，平面 PAD打 (

17、I)求证：EF_L平面PAD; (II)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； 答案：解：方法1: (I)证明：二.平面 PADL平面ABCD, AB_L AD AB_L平面 •・ E、F 为 PA、PB的中点 EF//AB, • . EF_L平面 PAD (II)解：过P作AD的垂线，垂足为0二•平面PAD_L平面abcd,则po，平面 取 AO 中点 M ,连 OG, ,EO,EM ••• EF //AB//OG ，OG即为面 EFG与面ABCD的交线 又 EM//OP,则 EM，平面 ABCD 且 OG^AO, 故 OG_LEO，NE0M 即为所求 RtAEOM

18、中，EM=M OM=1 . tan/EOM =禽,故 ZEOM =60 M - CD ・♦・平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是 60 方法2: (I)证明：过P作P O ，AD于O,二•平面PAD,平面ABCD, 则po _L平面ABCD),连OG,以OG, OD, OP为x、y、z轴建立空间坐标系, ・•.PA= PD =AD=4, OP =2J3,OD HA=2,得 A(0,-2,0)，B(4,-2,0)，C(4,2,0)，D(0,2,0)，P(0,02月) E(0,-1,<3), F(2,-1, V3),G(4,0,0),故 eF =(2,0,0),AD=(0,

19、4,0),PD=(0,2,23), EF AD =0, EF PD =0 , EF _L平面 pad； + f~ (II)解：EFWaSEGT4,1,33),设平面 EFG 的一个法向量为 n =(x,y, z), ? E!?即/xR L . 则 n EG R, 4x+y—y3zH, 取z=,得 n g0"3,1), 平面ABCD的一个法向量

20、为ni =(0,0,1), I n n1 1 60 | cos