2019年中考数学专题复习《几何证明》压轴题(共9页)

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1、精选优质文档-----倾情为你奉上 几何证明压轴题（中考） 1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （

2、1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想； 图13－1 A( G ) B( E ) C O D( F )

3、图13－2 E A B D G F O M N C （2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图13－3 A B D G E F O M N C 4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。 （1）若，求CD的长； （2）若 ∠ADO：∠

4、EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。 5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点； （2）求证：CG是⊙O的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半径． 6、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3）， ⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．

5、 （１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C. 求证：∠ACB=∠OAC. C A B D O E 8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为． ⑴求AO与BO的长； ⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. ①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D

6、点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米； ②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ ，试求AA’的长． [解析] ⑴中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米， ∴米. 几何证明压轴题（中考）解析 1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (4) 求证：DC=BC; (5) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△

7、ECF的形状，并证明你的结论； (6) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. [解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M, 则AM=BC=2. 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为. 所以，△DEC≌△BFC 所以，. 所以， 即△ECF是等腰直角三角形. （3）设,则，所以. 因为，又，所以. 所以 所以. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （

8、2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵点E 、F分别是AB、CD的中点， ∴AE＝AB ，CF＝CD ． ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF ． （2）当四边形BEDF是菱形时， 四边形 AGBD是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝

9、∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四边形AGBD是矩形 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想； 图13－1 A( G ) B( E ) C O

10、 D( F ) 图13－2 E A B D G F O M N C （2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图13－3 A B D G E F O M N C [解析]（1）BM=FN． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OB

11、M≌△OFN ．∴ BM=FN． （2） BM=FN仍然成立． （3） 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN． 4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。 （1）若，求CD的长； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。 [解析] （1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝9

12、0°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以 （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

13、 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点； （2）求证：CG是⊙O的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半径． [解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD (2)方法一：连接CB、OC， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点

14、， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′ 方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA＝FG，且AB＝BG 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　 由、得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝ ∴⊙O半径为2 6、如图，已知O为原点，点A的坐标

15、为（4，3）， ⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动． （１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由. [解析] 解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3） ⑵作AC⊥OP,C为垂足. ∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1 ∴△ACP∽△OBP ∴ 在中,,又AP=12-4=8, ∴ ∴AC=≈1.94 ∵1.94<

16、;2 ∴OP与⊙A相交. 7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，C A B D O E 垂足为点C. 求证：∠ACB=∠OAC. [解析]证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F， （3分） ∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵点A是OB的中点， ∴点F是EC的中点. ∴AE=AC. ∴∠1

17、=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC. 8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为． ⑴求AO与BO的长； ⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. ①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米； ②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ ，试求AA’的长． [解析]⑴中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米. 米. -------------- (3分) ⑵设在中, 根据勾股定理: ∴ ------------- (5分) ∴ ∵　　∴ ∴ ------- (7分) AC=2x= 即梯子顶端A沿NO下滑了米. ---- (8分) ⑶∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点 ∴， ------------- (9分) ∴------- (10分) ∴∴ ∵∴ ---- (11分) ∴----- (12分)∴米. 专心---专注---专业