2010-2011学年高中数学 二元一次不等式 (1)

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1、§3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 §3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域 对点讲练 一、二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1　画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x－y－6≥0；　(2) 解　(1)如图1，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0,0)代入2x－y－6中，因为2×0－1×0－6＝－6<0，所以在直线2x－y－6＝0左上方的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，因此2x－y－6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)； 　　　图1　　　　　　　图2 (2)先画出直线

2、x－y＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O(0，0)，代入x－y＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合． 总结　不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界． ►变式训练1　画出不等式组表示的区域． 解　 不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合；不等式2y≥x即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合

3、；不等式3x+2y≥6， 即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合；不等式3y0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分． 二、平面区域的面积问题 例2　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．1 C. D. 解析 记 则 即 作出可行域可知

4、面积为1. 答案　B ►变式训练2　若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为　　　　. 答案　 解析　 如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域． 又D(0,1)，B(0,2)，E，C(2,0)． S四边形ODEC=S△OBCS△BDE=. 三、平面区域内的整点个数问题 例3　利用平面区域求不等式组的整数解． 分析　先画出平面区域，再用代入法逐个验证． 解　把x=3代入6x+7y≤50，得 y≤4，又∵y≥2

5、，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x=4代入6x+7y≤50，得y≤， ∴整点有：(4,2)(4,3)． 把x=5代入6x+7y≤50，得y≤， ∴整点有：(5,2)； 把x=6代入6x+7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)； 把x=7代入6x+7y≤50，得y≤，与y≥2不符． ∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)． 总结　求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点． ►变式训练3　画出2x-3

6、y≤3⇔ 平面区域如图所示： 而其中的正整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5组． 课堂小结： 1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题． 3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数． 课时作业 一、选择题 1．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)

7、 A．a∈(－1,6) B．a∈(－6,1) C．a∈(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．a∈(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案　A 2．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为(　　) 答案　B 解析　不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组 (Ⅰ)或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B. 3．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　) A．2个 B．4个

8、 C．6个 D．8个 答案　C 解析　画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个． 4．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组，则平面区域D的面积是(　　) A.＋ B．1＋ C.＋ D．1＋ 答案　B 解析　画出平面区域，如图，阴影部分面积S=1+. 5．(2009·天津滨海新区五所重点学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为(　　) A．3＋2

9、 B．－3＋2 C．－5 D．1 答案　D 解析　区域如图，易求得A(2,2)，B(a，a+4)，C(a，a)． S△ABC=1/2|BC|·|a+2|=(a+2)2=9，得a=1. 二、填空题 6．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________． 答案　 解析　 如图直线AB的方程为x+2y1=0(可用两点式或点斜式写出) 直线AC的方程为2x+y5=0 直线BC的方程为xy+2=0 把(0,0)代入2x+y5=5<0 ∴A

10、C左下方的区域为2x＋y－5<0. ∴同理可得△ABC区域(含边界)为. 7．不等式组所表示的平面区域的面积等于________． 答案　 解析　 平面区域如图． 解 得 易得 8．已知点A(5，5)，过点A的直线l：x＝my＋n (n>0)，若可行域的外接圆的直径为20，则实数n＝________. 答案　10 解析　 可行域如图所示，设直线l：x=my+n的倾斜角为α， 则 又点 在直线 上 时， 又n>0, 不合题意，舍去， 当时， 三、解答题 9．画出不等式组所表示的平面区域并求其面积． 解　 如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域． 由 得, 同理得 而点B 到直线距离为 10．画出不等式组表示的平面区域，并求其中的整数解(x，y)． 解　作出平面区域，如图所示． 可求得顶点坐标 故的范围是<，<， 其中整数是 结合图形并经检验可得整数解有 (0,0)，(0， 1)，(1,0)，(1， 1)，(2， 2)．