《《复数代数形式的乘除运算》导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《复数代数形式的乘除运算》导学案（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第3课时复数代数形式的乘除运算
学号起JUt •耳标躺出ft
=躁程学习目标
1. 理解复数的代数形式的四则运算 ，并能用运算律进行复数的四则运算
2. 能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算 .
知识体系梳理
两个多项式可以进行乘除法运算 能像多项式一样进行乘除法运算吗 ?
例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d 駅),
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问题1:结合多项式乘法运算的特点，说明复数乘法运算有哪些特点 ？
(1) 复数的乘法与多项式的乘法类似，只是在运算过程中把i2换成，然后实部、虚部分别合并；
(
2、2) 两个复数的积仍是一个复数；
(3) 复数的乘法与实数的乘法一样，满足交换律、结合律及分配律；
(4) 在复数范围内，实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立 .
问题2:什么是共轭复数？
一般地，当两个复数的时，这两个复数叫作互为共轭复数.
问题3:怎样进行复数除法运算？
复数的除法首先是写成分数的形式，再利用两个互为共轭复数的积是一个实数，将分母化为实数，从而化 成一个具体的复数.
问题4:复数的四种基本运算法则
(1) 加法:(a+bi)+(c+di)=;
(2) 减法:(a+bi)-(c+di)=;
(3) 乘法:(a+bi)(c+di)=;
口十占i
(4)
3、 除法:(a+bi) *+di)= ‘ =(c+di 勿).
妙誤H崎化・冋 « 底代
越础学习交济
2 + 3i
1.i是虚数单位，复数z= *二的虚部是().
A.0B.-1C.1D.2
2. 复数z1=3+i,z2=1-i，则z=z1 Z2在复平面内的对应点位于().
A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数，则z=.
4. 设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.
跟童撮究与创新
导学区■不仪系讲
I* A it牛性忙
克难点探究
4、
SK-
复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1 -i)(1+i)+(-1+i);
(2) (2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;
(3) (4-i5)(6+2i7)+(7 + i11)(4-3i)
(4) (1-i)3.
复数代数形式的除法运算
计算:(1)(1 +2i)珥3-4i);
⑵ I • 一1「；
I fi«z
复数四则运算的综合应用
3-:i
已知|z|2+(z+ )i= • (i为虚数单位),试求满足条件的 乙
才笛址力吧儂*弄犠ft
思维拓展应用
Ck麼用-
计算：(1)(1-i)2；
1①品1
2 -
5、2 ⑵(-+ i)( + i)(1+i).
QU-
计算：
(l-4i)(l + i) + 2 + 4i
(1)
口十 /ji
3 + 4i
a - b\
若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=o有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根
基础智能检测
1.复数z= (i为虚数单位),则|z|等于().
A.25 B. C.5 D.-
2i
2.i是虚数单位，则复数I +(1 +2i)2等于().
A.-2-5i B.5-2i C.5+2i D.-2+5i
6、3. 若复数z满足z(1 +i)=2,则复数z=.
3 -4i 1 - i
4. 计算：； +(丨)2014.
討样轻鼻特•祝角寥jL吧
金新视角拓展
(2014年•山东卷已知a,b9R,i是虚数单位 若a-i与2+bi互为共轭复数，则(a+bi)2=().
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i
考题变式(我来改编):
总结评价与反思—
堪学区•不堪不怎
賂J* M科化•為 哥直搖?ft
字g从箕化■直韋并菲ft
「学习体验分事
7、第3课时复数代数形式的乘除运算
知识体系梳理
问题 i：(i)-1
问题2:实部相等，虚部互为相反数
问题 4：(1)( a+c)+(b+d)i(2)( a-c)+(b-d)i
ac + bd be - ad
⑶(ac-bd)+(ad+bc)i(4) '' + ■ i
基础学习交流
2 十 1
1. B T z= = =-i, ••虚部为-1,故选 B.
2. D z=zi z2=(3 + i)(1-i)=4-2i.
f 4 -12 = Oj
3. -2i 设 z=bi(b€R),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得 _ ''
8、解得 b=-2.
所以z=-2i.
4. 解:(法一 )T(z+1)=-3+2i,
亠3十2i
z= -1=-(-3i-2)-1=1 +3i,
故z的实部是1.
(法二)令 z=a+bi(a、b^R), 由 i(z+1)=-3+2i,
得 i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i,
--a+ =2,.. a=.
故z的实部是1. 重点难点探究
探究一:【解析】(1)(1 -i)(1+i)+(-1 + i)=1-i2-1+i=1 + i.
(2) (2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i
=(-2 + 10i + i-5i2)(3-4i)+2
9、i
=(-2 + 11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3 -4i) + 2i
=(9-12i + 33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i.
(3) (4-i5)(6+2i7)+(7 + i11)(4-3i)
=(4 -i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)
=(24-8i-6 i+2i2)+(28-21i-4i +3i2)
=47 -39i.
(4) (1 -i)3=13-3 X12Xi+3X1 >^2-i3
=1-3i-3-(-i)=-2-2i.
【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算 ，混合运算与实数
10、的运
算顺序一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法 ，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、
完全平方公式等.
1 + 2i
探究二：【解析】(1)(1 +2i)说3-4i)='
(J 十 2i)(3 + 4i) -5 + 10i
=：：d；： ； •】]= 匚
1 2
1 + 31(1 +0 + I3 - [1 - 31(1 -i) -I3]
(2)(法一)原式=
(法二)原式=
[(1 + 0-(l-i)][(l + D2 + (l + i)(l-0 + (1-1)2 ]
[(i + i) + (i-i)][(i + i)-(i
11、-0]
4i
⑶原式=[C+ ' i)2]2+‘叮-弘丁
1 ^3 1 +個l祸1①
=(-+ ^ i)2- I =-：- i+i- 1
【小结】进行复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可方便计
1 1 + i 1 - i a+b\
算,简化运算过程，比如=-i,(1 +i)2=2i,(1 -i)2=-2ij ' 1 =ij =-i,a+bi=i(b-ai), 一 ’ =i,等等.
运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式，比如第(2)题中的解法一.
探究三：【解析】原方程化简为|z|2+(z+ )i = 1
12、-i,
设z=x+y i(x,y駅),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
••原方程的解为
I $ z=- ：± i.
【小结】对于此类复数方程我们一般是设岀复数的代数形式 用复数四则运算将其整理，然后利用复数相等的充要条件来求解 思维拓展应用
应用一 ：(1)(1 -i)2=1-2i+i 2=-2i.
z=x+y i(x,y取)，然后将其代入给定方程，利
(2)(- ：+ ' i)( + i)(1+i)
週1
=(-+ ：i)(1+i)
回
=(--：)+(
( J -4i)(l + 0 + 2 + 4i 1 + 4 - 3i + 2
13、 + 4i
应用二：(1)
3 + 4i
3 + 4i
?十 i (J 十 DM -申)21.十 4 + 3i - 28i
』十歯=匸十「 = .■
25-2Si
=• ■ =1-i.
a + bi a - bi i(b - ai) - l(al + b)
⑵ H _ tri+b + cri = b_ 皿 + b + ai =i_i=o
应用三：设x=ai(a^R且a勿)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根，将其代入方程可得
(ai)2+(F+3t+tai)i=0, ••-a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得
[-fi3
14、- at = 0, _
[t? + 3t = 0. =
3.
故t=-3,方程的两
个根为0或3i.
基础智能检测
3-41
1. C z= =-4-3i,所以 |z|=5.
2i 2i(l -i)
2. D I +(1+2i)2= +4i-3=5i-2.
2 2(1 - i)
3.1-i 沪1知=(1+颈1-0=1」.
-j (斗十3i)
4.解:原式=I +(-i)2014=-i-1.
全新视角拓展
D先由共轭复数的条件求出 a,b的值，再求(a+bi)2的值.由题意知 a-i=2-bi, •a=,b=1, ••(a+bi)2=(2 + i)2=3+4i.
《复数代数形式的乘除运算》导学案
