自动控制原理第2章习题解

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1、习题2 2-1试证明图2-77(a)所示电气网络与图277(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。 d. 图2-77习题2-1图 证明：首先看题2-1图中(a) Urs=Urs-Ucs ,,1,,,11-- Ir(s尸hUr(s)+CsUr(s尸二十CsUr(s) ,f1、 Uc(s)=R2+—|I(s) IC2sJ Uc(s六 R2 + Gs Ur(s)—Uc(sX R2c2S 1 1 RC1S C2S R +」一!」工+Gs+1Uc(s)=R2/—+C〔sUr(s) C2s人R1)J'工C2s人R1) R2c2s11GGs1

2、ucs二 |lC2sR1 2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。 (b) 图2-78习题2-2图 解： (a)Cdu工，u「t=--Uot(b)—Urt--Cduo-t-Uot dtRR2RILdtR2 1,ccdUct, ⑹-Urt=-R2CcUct R1_dt 2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为xo=-1.2,0, 2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。 解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有

3、，在Xo=-1.2,0, 1) df dX x=12 2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为： 40一一40二里.35.56 0.75--1.52.25 2) df dx x旦 40-0 2 -0 二20 3) df dx 35 -20 15 人 x^.5 - 3-0.5 -2.5 一 2-4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速④为输出量。试写出该系统输入输出间 的微分方程和传递函数。 位移髭工/cm 图2-80 习题2-4图 图249 习题2-3图 解：根据系统传动机构图可列动态如下：

4、 di t Ri t L Ke ' =Ur t dt Tem = Kt i d ■ ""KTf 将方程（3）整理后得: i」TL皿 Kt Kt出 将方程（4）代入方程（1）后得: R RJ d Tl Kt Kt dt LdlL LJ d2 ■ 2 Kt dt Kt dt Ke：＞ =5 t (1) (2) (3) (4) (5) 将方程(5)整理后得: LJ d% KT -dt2- RJ d . + Kt dt R -ur t TL - KT L dTL 《"dT (6) 2-5系统的微分方程组如下 父]

5、a)==(力一£a),+k 丁3(工)=代以(1),』([)=#3(1)一工m(E)—K5£(/) da?5(z)/dc(t) 得「二K百⑴，Ky3=丁也卢，Mf) 口edt 式中，r, K-, K2, Ko, Kn, Kj , T均为常数。试建立系统 r⑴对c⑴的结构图，并求系统传递函数 C(s) / R(s)。 解：首先画系统结构图，根据动态方程有： Xi(s). 然后，根据梅逊公式得： sKKK3K4K2K3K4S. csS12sTS1STS1 R(s)1十(无十KKK3K4+K3+K3K4K5s(Ts+1)+K2K3K46十Ki)十K4Ts+I%K3K4K5

6、 12sTs1ssTs1sTs1sTs1sTs1sTs1 Cs=K2K3K4sKi Rs-Ts21K2K3K4.K3TsKiK2K3K4K3K3K4K5 26图2-8l是一个模拟调节器的电路示意图。 76GRs 图2-81习题2-6图 ① 写出输入Ui,与输出Uo之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数U0(S)/Ur(S)。 解：根据电路分析需要，引入中间变量Voi⑴，Vo2(t),然后，由电路图可知: UisUos1= RiRi Uois R3 =-C2sUo2s (1) (2) R5 Uos一詈Uo2s R4 (3) 采用代

7、入法，将上述3个方程联立求解得: R2R5 RR3R4c2sR2Cisi UisUos1 Uos= R2R5 RRR4c2sRCisiRzRCis Uis Uos R2R5 UisRR3R4c2R2cls2RR3R4c2sR2R5clsRiR3R4C2Ci s 2-7某机械系统如图2-82所示。质量为m、半径为R的均质 圆筒与弹簧和阻尼器相连的斜面上滚动(无滑动),求出其运动方程。 解：首先，对圆辐进行受力分析；根据分析结果可知： mg 「RiRsRCz+RzRCi .RiRR^RzCi) 图282习题"『图

8、 dd2乜 mgsin二一Kx1-B——二m-2- dtdt2 d2x1 噜Kx1 =mgsin 二 回路通道传递函数 Li： L1 = -G1 (s G2(sH2(s )； L2 =-G2(sH1(s) d 2xi m——2- dt dx B- Kx1 二 mg 图2Y3 习即2d图 2 9试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数 c(s)/R(s)。 2

9、8图2-83是一种地震仪的原理图。地震仪的壳体固定在地基上，重锤M由弹簧K支撑。当地基上下震动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。活塞B提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能 及时停止震动。 ①写出以指针位移y为输出量的微分方程；②核对方程的量纲。 解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知: ,,2 dydy mg-Ky-B—=m—£出dt2 图2-84习题2-9图 解：(a),根据梅逊公式得： 前向通道传递函数Pk：P=G1(sG2(s);P2=G3(sG2(s)

10、特征方程△:△.=1一＜Li=1•G1sG2sH2s•G2sH1s 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：△I=42=1 系统传递函数为： s_Cj_G1sG2sG2sG3s 一Rs-1G1sG2sH2sG2sH1s (b),根据梅逊公式得： 前向通道传递函数Pk：P=G1(sG2(s)； 回路通道传递函数Li：L1=W1(sH1(s)；L2=—H1(sH2(s) 特征方程△:::=1Li=1・G1sH1s•H1sH2s 由于回路传递函数L2与前向通路相“不接触”，所以。余子式：A1=1+H1(sH2(s) 系统传递函数为: C s Rs GKsM+H

11、1(sH2(s》G 1G1sH1sH〔sH2s2s (c),根据梅逊公式得： 前向通道传递函数Pk：P=G1(sG2(sG3(sG4(s); 回路通道传递函数Li：L1=G1(sG2(sG3(sG4(sH1(s)； L2=-GsG2sG3sH2s L3=-G2sG3sH3s L4=-G3sG4sH4s 特征方程△: ：=1-'Li=1-G1sG2sG3sG,sH1sG1sG?sG3sH2sG2sG3sH3sG3sG4sH4s 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：4=1 系统传递函数为： ,CsG1sG2sG3sG4s s-Is== Rs1-G1sG

12、2sG3sG4sH1sG1sG2sG3sH2sGzsG3sH3sG3sG,sH4s 2-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)/R(s)。 2-11系统的结构如图2-85所示。 ①求传递函数C1(s)/Ri(s),C1(s)/R2(s),C2(s)/Ri(s),C2(s)R2(s), ② 求传递函数阵 G(s)C(s尸G (s)R(s),其中 〜、展」a\网s)lG(S也s)}R⑺飞闯 解：Ci(s)/R(s),根据梅逊公式得： 前向通道传递函数Pk: P1=GiSG2SG3s P2=Gi(sG7(sG5(sG8(sG3(s)； 图2-85 习题2-11

13、图 回路通道传递函数ELi:L1=-G3(sG3(s)； L2=G7SG5sG8s L3=-G5sH2s 相互“不接触”回路ELiLj： L1L2=—G3sG3sG7sG5sG8s L1L3=G3sG3sG5sH2s 特征方程△: =1「Li八Li」 =1,G3sG3s-G7sG5sG8s,G5sH2s,G3sG3sG7sG5sG8s-G3sG3s-G5sH2s 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：△1=1 系统传递函数为: C〔s= 2-12试求图2-86所示结构图的传递函数C(s)/R(s)。 解：C1(s)/R(s),根据梅逊公式得： 前向

14、通道传递函数Pk: P—G1(s)；P2=Gz(s)；P=—G1(sG2(s)； 图2-86 习题2 12图 R=QsG2(s)； 特征方程△: △=1-%Li-jLj- =1GsG2s-3GsG2s 特征方程余子式4k：=:2=.%=.%=1 系统的传递函数为： :,s_Cs_GsQs-2GsG2s 1—Rs-1G1sG2s-3GlsG2s 回路通道传递函数 ELi：1=刀1位)；L2 = -G2(s)； L3=G1(sG2(s)； L4 =G(sG2(s)； L5 =G(sG2(s) 2-13已知系统结构如图2-87所示，试将其转换成信号流图，并求出c

15、⑸/R(s)。 图2-87习题2-13图 解：(a)根据梅逊公式得: Cs Rs1GsH1sG2sH2sGsH1sG2sH2s (b)根据梅逊公式得: ①(s)_Cs)G(sG2(s) ,「Rs-1G1sdsG2sH2s 2-14 (b) 系统的信号流图如图2-88所示，试求C(s)/R(s)。 图2-88习题2-14图 图2-89习题2-15图 解：(a)根据梅逊公式得: Cs Rs 2-15 某系统的信号流图如图 2-89所示，试计算传递函数 C2

16、(s)/R1(s)。若进一步希望实现 C2(s)与R[(s)解 2-16 已知系统结构图如图 2-90所示。 ①求传递函数 C(s)/R(s)和C(s) /N(s)。 ②若要消除干扰对输出的影响 (即C(s) /N(s)=0，问G0(s尸? 解：①由结构图可知 C(s)/R(s) 图2r90习题276图 0.5K 2 中s且_ss1_0.5K_0.5K Rso.0.5K12.5s2s10.5Ks2.5s2S33.5s2s0.5K I2~T~AA， ss1ss1iis1 (b)根据梅逊公式得： G1sG2s 1G1sdsG2sH2s K1K2K3 Cs_sTs

17、1_K1K2K3 Rs1,K1K2K3sTs1K1K2K3 sTs1 ②由结构图可知C(s)/N(s) G.K1K2K3K4K3 Cs_0ssTs1-Ts1_K1K2K3G0s-K4K3s Ns1,K1K2K3sTs1K1K2K3 sTs1 若使C(s)/N(s)=0,则意味着 K1K2K3G0s-K4K3s=0 最终求得G0(s)： G0s=-K^-s K1K2 2-17考虑两个多项式p(s)=s2+2s+1,q(s)=s+1。用Matlab完成下列计算①p(s)q(s) ②G(沪悉x鬟x南; ③扩m 2-18考虑图2-91描述的反馈系统。 ①利用函数se

18、ries与cloop,计算闭环传递函数，并用printsys函 数显示结果； ②用step函数求取闭环系统的单位阶跃响应，并验证输出终值为 图%91 习题2T8图 2/5。 解：略 2-92所示，其中k=10. 8E+08, a=1和b=8是控制器参数, J=10。 图2-92 习题2-19图 图2-93 习题2-20图 2-19卫星单轴姿态控制系统的模型如图8E+08是卫星的转动惯量。 ①编制MatIab文本文件，计算其闭环传递函数口Ws)/Ms); ②当输人为Q(s)=10o的阶跃信号时，计算并做图显示阶跃响应； ③转动惯量-,的精确值通常是不可知的，而且会随

19、时间缓慢改变。当‘，减小到给定值的80%和50% 时，分别计算并比较卫星的阶跃响应。 2-20考虑图293所示的方框图。 ①用Matlab化简方框图，并计算系统的闭环传递函数； ②利用pzmap函数绘制闭环传递函数的零极点图； ③用roots函数计算闭环传递函数的零点和极点，并与②的结果比较。 (2)如图所示机械位移系统，求G(s)=Y(s)/F(s)。解：首先对质量为m的物体进行受力分析，得所受的合力为 ,2, FtFitF2t=m-y2- dt 其中，F《)=—ky(t)；F2(t)=_f皿)dt 于是有 dytd2yt Ft-kyt-f『m『 整理得 2 m整f誓…Ft 解答完毕。