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如果是过圆盘中心并且垂直于圆盘的轴，那么取距离轴为R,宽度为dr的圆环作
为微元，并设圆盘的质量面密度为小，则圆环的质量dm=2出dr,带入积分式可
得『2加R3dr=1nNR4,再利用®R2=m,可得J=1mR2。22
如果是过圆盘中心并且在圆盘面内的，可以根据垂直轴定理得到结果，当然也可以直接计算。如图所示，取圆盘上一小块儿作为微元，在极坐标下，dm=Nrdrde,
所以这一小块儿的转动惯量
dJ=dm9(rcosH)2,积分得到
1
J=-mR20(r从0至UR,8从0
到2九)
对于不同的形状，分析方法都是先想办法写出dm,关键在于分割的方法。
2、至于计算，一般不是问题，对于不同的题目取合适的坐标系就行了。
-3 -
图1 图2
1、如图1,圆环质量为m ,单位角度对鹿的质量为制发兀,那么图示的版量dm - fm/2TT)dcr ,谶质量的转 动半彼对。=后$出口，根峙懒性，我们只需要对B在。到开〃上进行积分就可以了，因此有转动■惯错
覆 IF . JT H
『工 「上 T71J?二 f 2 TTl J? J f 2
1 二 4 | £3dm = 4/?3 f (sin2a)(m/2n)da= I 25fM4出i = -- I (1 - cos2a}da
Jq Jq 靠 Jq 3T J 口
mR-/1z1nS
3、
=——|a--sin2crJ|g=-mR^
2s如图Z国面的质量为m*圆面面积为苑炉$则有面密度为图中微面积为由t==]r(r+dr)”-
7^nr1=77(2rdr+(.dr)2)rdrda，④乎是高阶无穷小.忽略不计.侬质鼠为dm=(切兀产)d#=△
中■的.麒氤的转动芈径为£=年阳.对r■和渔行二重积分可得转动惯量为
J = 0 L2dm - jj(jrsina}2hn/nR2)rdrdix
1rtirRjf。情
{sma)2drda——Jr3drj(sincr)2da
2jt京
f 4radr12(sina)2da = Jr 』Q
mR2 ff
2jt
(1
4、— cas2a)da =^mR2
(sind)3dd
同样的.图我就不画了，对于薄球壳，它的转动惯量也是时球面上的微质量进行两个正交的怠度方向的定积分可以得到，面密度为刎肥，面积微元根据球坐标可以求得为西=炉5加值，微质量为dm=:=「时/4月〕加门用附炉.而微质量的转动半径初.=Rsinff故而有转动惯量
L2dm=1/R5inS1％m/土江):aSnHd白的=jj(sin3)sd3d(p
mR23mR2
—t—J(sinS}2(icos0=———|[1-{msaAIdcosd=———
2」02Jq2.
=-mPz
对于圆球.根据球坐标，体积微元郎。=产幻葡3drd附中，
5、体职密度为m，@1肥/3)=3⑺，4工中，则质量微元为dm=(3m/47rJf1)dV=(l3m/4nR*)r2sin&drd&d(p＞微质.量的回转半径为L=rsinS,可解球的转动惯量为
^{sin&)3d?-u&dip
j,(rsinff)2(3m/4nJt3)T2sinSdrd&d^=r
Sir
dtp =
3m
2Qn R3Ja
i
(frs I (_sin&)3d0
2:t
d/
3m/?
玉JT
[Qn即％田=-^^1(8写@一；(「比8")惜=
(e)均匀薄球壳绕直径的转动惯量
如图4-2手斤示，设球壳的半径为R，总质量为中，则面密度为口=m/
6、4立R2.将球髡划分为许多高度为d掰圆环.则环的面积为2^rdz/国in而si(h=r/R从而质量为2冗口「|dz/&i=0冗□Rd,z垂直距离u=Jr2—于是
图4-23球壳的转M惯量
rR0
1=2naRr
=[2n。R(R2-z2)dz
J-R
=tcr4
2
=-mR2
3
(f)均匀球体绕直径的转动惯量
如图4-2率斤示，设球体的半径为R，息质量为m，则密度为P二3m#4R上将球体划分为许多厚度为d码圆盘，则盘的体积为nr12工质量
为nprjdz,垂直距离1=标二"？，于是
E*-24磁行动惯量
a
)'- 1 l (x)dx
3 3
Xi -yi
10
z八(3xi-a
i=1
圆盘、球体转动惯量的推导
