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1、112=121
122=144
132=169
142=196
152=225
162=256
172=289
182=324
192=361
202=400
2
21 =441
2
22 =484
2
23 =529
2
24 =576
2
25 =625
2
26 =676
2
27 =729
2
28 =784
2
29 =841
2
30 =900
312=961
322=1024
332=1089
342=1156
352=1225
2
36=1296
2
37=1369
2
38=1444
2
39
2、=1521
2
40=1600
2
41 =1681
2
42=1764
2
43=1849
2
44=1936
2
45=2025
462=2116
472=2209
482=2304
492=2401
502=2500
2
51 =2601
2
52 =2704
2
53 =2809
2
54 =2916
2
55 =3025
562=3136
572=3249
582=3364
592=3481
602=3600
612=3721
622=3844
632=3969
642=4096
652=4225
2
66
3、 =4356
2
67 =4489
2
68 =4624
2
69 =4761
2
70 =4900
712=5041
722=5184
732=5329
742=5476
752=5625
762=5776
772=5929
782=6084
792=6241
802=6400
2
81 =6561
2
82 =6724
2
83 =6889
2
84 =7056
2
85 =7225
862=7396
872=7569
882=7744
892=7921
902=8100
2
91 =8281
2
92 =8464
4、
2
93 =8649
2
94 =8836
2
95 =9025
962=9216
972=9409
982=9604
992=9801
106=10000
规律：
(1)完全平方数的个位数字只能是 0,1,4,5,6,9.( 没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和
为10,则它们的平方数的个位数字相同.
(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数 (3)如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6;反之，如果完全平方数 的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
⑷偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1.
⑸ 奇数的平方是8n+
5、1型；偶数的平方为8n或8n+4型.
(6) 完全平方数的形式必为下列两种之一 ：3n,3n+1.
(7) 不能被5整除的数的平方为5n± 1型，能被5整除的数的平方为5n型.
(8) 平方数的形式具有下列形式 16n,16n+1,16n+4,16n+9.
(9) 完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是 0,1,3,4,6,7,9.( 没有2,5,8)
(10) 如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.
(11) 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数 .
(12) 一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是 n有奇数个因数(包括1和n).
6、
一个数如果是另一个整数的完全立方(即一个整数的三次方，或整数乘以它本身乘以它 本身)，那么我们就称这个数为完全立方数，也叫做立方数，如 0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000 等.
如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.
x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数 .z和z2必定都是奇
数.
五组常见的勾股数：
222 2222 22222 2 2 2
3 +4 =5 ； 5 +12 =13 ； 7 +24 =25 ； 8 +15 =17 ； 20 +21 =29
9+16=25;
7、25+144=169; 49+576=625; 64+225=289 400+441=841
记忆技巧：
2 2 2 2 2 2
(a+b) =a +b +2ab(a — b) =a +b — 2ab
ax abx b2x ax bax abx b2x axb
2 2 2 2
例：13=(10+3) =10+3+2X 10x 3=100+9+60=169
882=(90-2) 2=902+22 — 2x 90X2 =8100+4-360=7744
用处：
① 训练计算能力，使计算更快更准确；
② 估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数 n是不是质数时可以缩小其可能因
8、
子的筛选范围 , 只需检查 3 到之间的所有质数是不是 n 的因子即可，超过的都不必检查了 . 例如，判定 2431 是否为质数，因为 492=2401<2431<2500=502, 所以 49<<50,2+4+3+1=10不 能被 3整除,2341 的个位既非 0又非 5,故只需检查 7到 47之间的所有质数能否整除 2431 即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上 2431=1117.
③ 增加对数字的熟悉程度，比如 162=256=2\ 322=1024=2°,
642=4096=212, 另外一些特殊结构的数字应该牢记，如 882=7744,
112=121,222=484,（121 和 484从左到右与从右到左看是一样的 ）
2 2 2 2 2
12 =144,21 =441,13 =169,31 =961,（a 左右颠倒后 a 也左右颠倒）.
平方数的规律及以内的平方表
