全等三角形_辅助线做法讲义

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1、 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 巧添辅助线一——倍长中线 【夯实基础】 例：中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接B

2、E 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F， 延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE

3、 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形 例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求

4、证：AE平分 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH 例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE至F，连结DF 证明ΔABE≌ΔFDE（SAS） 进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE、DF交于G 证明AB=GC、AF=GF

5、 所以AB=AF+FC 2、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证： 3、已知：如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE. 提示：过T作TN⊥AB于N 证明ΔBTN≌ΔECD 截长补短法引辅助线 思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

6、 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。 例1. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。 求证：AB＝AC＋CD 证法一：（补短法） 延长AC至点F，使得AF＝AB 在△ABD和△AFD中 ∴△ABD≌△AFD（SAS） ∴∠B＝∠F ∵∠ACB＝2∠B ∴∠ACB＝2∠F 而∠ACB＝∠F＋∠FDC ∴∠F＝∠FDC ∴CD＝CF

7、 而AF＝AC＋CF ∴AF＝AC＋CD ∴AB＝AC＋CD 证法二：（截长法） 在AB上截取AE＝AC，连结DE 在△AED和△ACD中 ∴△AED≌△ACD（SAS） 例2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。 分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，

8、分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。 1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E， 求证;AB＝AC+BD 3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分， 求证： 5.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD

9、. 6.已知：如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的平分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE. 7.已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，求证：BE=CF+AE. 与角平分线有关的辅助线 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考

10、虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 （1）截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC，∠

11、BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 例3． 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。 练习 1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，

12、求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC 4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。 （2）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180  分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 例2． 如图2-2，在△ABC中

13、，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD 分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。 例3． 已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证：∠BAC的平分线也经过点P。 分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等 练习： 1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2

14、 D 1 2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB， AE=（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。 4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。 5． 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。 （3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的

15、一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC） 分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。 例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂

16、线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BN垂直AD,交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。 求证：AM=ME。 分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。 例4． 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC） 分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的

17、结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。 练习： 1． 已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。 2． 已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC （4）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 1 2 A C D B 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与

18、另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。 例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 B D C A 例5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD， 求证：∠A+∠C=180。 A B E C D 例6 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。 C A B 练习： 1. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。 A B D C 1 2 2．已知

19、：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC A E B D C 3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD A B C D 4． 已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD (5)、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线 例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠AB

20、C交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和∴ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。 （六）、借助角平分线造全等 1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点

21、O，求证：OE=OD 2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 总结口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）