高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课件 新人教A版选修45

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1、一数学归纳法1.数学归纳法的概念一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k(kN+,且kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.名师点拨数学归纳法与归纳法的关系:归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法,它属于归纳推理.而数学归纳法是一种演绎推理方法,是一种证明命题的方法.答案：D 2.数学归纳法的步骤 名师点拨1.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步中验证n的初始值至关重要,它是递推的基

2、础,但n的初始值不一定是1,而是n的取值范围内的最小值.2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.做一做2利用数学归纳法证明不等式 (n2,nN+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项 B.k项 C.2k-1项D.2k项答案：D 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明. ()(

3、3)用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,归纳假设可以不用. ()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. () 探究一探究二探究三思维辨析用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题 【例1】 用数学归纳法证明:(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.分析：在第二步证明中,注意利用归纳假设,对当n=k+1时的式子进行合理变形.证明：(1)当n=1时,(31+1)7-1=27能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.当n=k+1时,3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-

4、1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.因为(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除,所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除,即当n=k+1时命题成立,由(1)(2)可知,(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1用数

5、学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中nN+,aR. 证明：(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1即为a2+a+1,能够被a2+a+1整除,命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即ak+1+(a+1)2k-1能够被a2+a+1整除,当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2k-1(a2+a+1).由归纳假设知,上式能够被a2+a+1整除,即当n=k+1时命题成立.由(1)

6、(2)可知,命题对任意nN+都成立.探究一探究二探究三思维辨析用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 【例2】 用数学归纳法证明:分析：按照数学归纳法的步骤进行证明,注意第二步中合理运用归纳假设.探究一探究二探究三思维辨析证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,命题成立. 即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,命题对任意nN+都成立.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟应用数学归纳法证明等式时应注意的问题1.第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n=2或n=3等.2.注意当n=k+1时式子的项数,特别是寻找n=k与n=k+1的关系式之间的关系时,项数发

7、生变化容易被弄错,因此对当n=k与n=k+1时关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2用数学归纳法证明:1+32+522+(2n-1)2n-1=2n(2n-3)+3(nN+). 证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即1+32+522+(2k-1)2k-1=2k(2k-3)+3.当n=k+1时,1+32+522+(2k-1)2k-1+(2k+1)2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)2

8、k=2k(4k-2)+3=2k+12(k+1)-3+3,即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,命题对任何nN+都成立.探究一探究二探究三思维辨析用数学归纳法证明平面几何问题用数学归纳法证明平面几何问题 【例3】 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2(nN+)个部分.分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,所以再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.探究一探

9、究二探究三思维辨析证明：(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以当n=1时命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与这k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.故当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,对一切nN+命题成立,即这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN+).探究一探究二探究三

10、思维辨析变式训练3平面上有n(nN+)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,求证:这n条直线把平面分成 个部分. 证明：(1)当n=1时,一条直线把平面分成2部分,(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即k条直线把平面分成当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,所以k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成2部分,故新增加了(k+1)个部分.探究一探究二探究三思维辨析即当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)知,命题对任

11、何nN+都成立.探究一探究二探究三思维辨析证明过程中未用归纳假设致错 即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,命题对nN+成立.探究一探究二探究三思维辨析即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,命题对nN+成立.纠错心得本题的错误在于证明当n=k+1命题成立这一步骤时,没有运用归纳假设,而是直接利用等比数列的前n项和公式求得,这不是用数学归纳法证明问题,是错误的.探究一探究二探究三思维辨析即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,命题对于任意的nN+都成立.1 2 3 4 51.在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时,第一步应验证()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=

12、4成立解析：凸n边形的内角和为(n-2),最少边的凸n边形为三角形,所以应验证当n=3时成立.答案：C1 2 3 4 52.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1= (nN+,a1),在验证当n=1时,左边所得的项为()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3解析：因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.答案：B1 2 3 4 53.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+),由n=k到n=k+1,等式左边的变化是()A.多乘了(2k+1)B.多乘了2(2k+1)C.多乘了(2k+1)(2k+2)D.多乘了2(k+1

13、)答案：B 1 2 3 4 54.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设应将5k+1-2k+1变形为. 解析：假设当n=k(k1)时,5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+32k.由假设知5k-2k能被3整除,又32k能被3整除,故5(5k-2k)+32k能被3整除.答案：5(5k-2k)+32k1 2 3 4 55.平面内有n(n2,nN+)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,证明交点的个数f(n)=证明：(1)当n=2时,两条直线有一个交点,f(2)=1,命题成立.(2)假设当n=k(k2,kN+)时,命题成立,那么,当n=k+1时,第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点,即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,命题对任何n2,nN+都成立.