数学第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系

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1、第二节与圆有关的位置关系考点一考点一 点、直线与圆的位置关系点、直线与圆的位置关系 (5(5年年0 0考考) )例例1 1(2018(2018泰安中考泰安中考) )如图，如图，M M的半径为的半径为2 2，圆心，圆心M M的坐标为的坐标为(3(3，4)4)，点，点P P是是M M上的任意一点，上的任意一点，PAPBPAPB，且，且PAPA，PBPB与与x x轴轴分别交于分别交于A A，B B两点，若点两点，若点A A，点，点B B关于原点关于原点O O对称，则对称，则ABAB的最小值为的最小值为( )( )A A3 B3 B4 C4 C6 D6 D8 8【分析分析】 通过作辅助线得通过作辅助线

2、得OPOP为为RtRtAPBAPB斜边上的中线，再通斜边上的中线，再通过勾股定理进行求解可得过勾股定理进行求解可得【自主解答自主解答】如图，连接如图，连接OPOP，则，则OPOP为为RtRtAPBAPB斜边上的中线，斜边上的中线，ABAB2OP.2OP.连接连接OMOM，则当点，则当点P P为为OMOM与与M M的交点时，的交点时，OPOP最短，最短，则则ABAB也最短根据勾股定理得也最短根据勾股定理得OMOM 5 5，OPOPOMOMPMPM5 52 23 3，ABAB2OP2OP6 6，即，即ABAB的最小值为的最小值为6.6.22341 1已知在平面直角坐标系内，以点已知在平面直角坐标系

3、内，以点P(P(2 2，3)3)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆为半径的圆P P与与x x轴的位置关系是轴的位置关系是( )( )A A相离相离 B B相切相切C C相交相交 D D相离、相切、相交都有可能相离、相切、相交都有可能A A2 2已知已知BACBAC4545，一动点，一动点O O在射线在射线ABAB上运动上运动( (点点O O与点与点A A不重合不重合) )，设，设OAOAx x，如果半径为，如果半径为1 1的的O O与射线与射线ACAC有公共点，有公共点，那么那么x x的取值范围是的取值范围是( )( )A A0 0 x1 Bx1 B1x1xC C0 0 x Dx Dx x222

4、C C考点二考点二 切线的性质与判定切线的性质与判定 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度切线的性质切线的性质例例2 2(2017(2017东营中考东营中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，以，以ABAB为直为直径的径的O O交交BCBC于点于点D D，过点，过点D D作作O O的切线的切线DEDE，交，交ACAC于点于点E E，ACAC的反向延长线交的反向延长线交O O于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：DEACDEAC；(2)(2)若若DEDEEAEA8 8，O O的半径为的半径为1010，求求AFAF的长度的长度【分析分析】 (1) (1)欲证明欲证

5、明DEACDEAC，只需证明，只需证明ODACODAC即可；即可；(2)(2)过点过点O O作作OHAFOHAF于点于点H H，构建矩形，构建矩形ODEHODEH，利用矩形的性质，利用矩形的性质和勾股定理即可求出和勾股定理即可求出AFAF的长度的长度【自主解答自主解答】 (1)OB (1)OBODOD，ABCABCODB.ODB.ABABACAC，ABCABCACBACB，ODBODBACBACB，ODAC.ODAC.DEDE是是O O的切线，的切线，ODOD是半径，是半径，DEODDEOD，DEAC.DEAC. (2)(2)如图，过点如图，过点O O作作OHAFOHAF于点于点H H，则则O

6、DEODEDEHDEHOHEOHE9090，四边形四边形ODEHODEH是矩形，是矩形，ODODEHEH，OHOHDE.DE.设设AHAHx x，DEDEAEAE8 8，ODOD1010，AEAE1010 x x，OHOHDEDE8 8(10(10 x)x)x x2.2.在在RtRtAOHAOH中，由勾股定理知中，由勾股定理知AHAH2 2OHOH2 2OAOA2 2，即即x x2 2(x(x2)2)2 210102 2，解得解得x x1 18 8，x x2 26(6(舍去舍去) )，AHAH8.8.OHAFOHAF，AHAHFHFH AFAF，AFAF2AH2AH2 28 816.16.12

7、利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题3 3(2018(2018泰安中考泰安中考) )如图，如图，BMBM与与O O相切于点相切于点B B，若，若MBAMBA140140，则，则ACBACB的度数为的度数为( )( )A A4040 B B5050 C C6060 D D7070A A4 4(2018(2018东营中考东营中考) )如图，如图，CDCD是是O O的切线，点的切线，点C C在直径在直径ABAB的延长线上的延长线上(1)(1)求证：求

8、证：CADCADBDCBDC；(2)(2)若若BDBD ADAD，ACAC3 3，求，求CDCD的长的长23(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OD.OD.ABAB是是O O的直径，的直径，ADBADB9090. .又又CDCD是是O O的切线，的切线，ODCODC9090，BDCBDCODBODB9090，1 1ODBODB9090，1 1BDC.BDC.又又OAOAODOD，1 1CADCAD，CADCADBDC.BDC.(2)(2)解：解：BDBD ADAD， CADCADBDCBDC，C CC C，CADCADCDBCDB，CDCD CACA 3 32.2.232= .3BDA

9、D2=3CD BDCA AD，2323命题角度命题角度切线的判定切线的判定例例3 3(2016(2016东营中考东营中考) )如图，在如图，在ABCABC中，以中，以BCBC为直径的圆交为直径的圆交ACAC于点于点D D，ABDABDACB.ACB.(1)(1)求证：求证：ABAB是圆的切线；是圆的切线；(2)(2)若点若点E E是是BCBC上一点，已知上一点，已知BEBE4 4，tanAEBtanAEB ，ABBCABBC2323，求圆的直径，求圆的直径53【分析分析】 (1) (1)欲证明欲证明ABAB是圆的切线，只要证明是圆的切线，只要证明ABCABC9090即可；即可；(2)(2)在在

10、RtRtAEBAEB中，根据中，根据tan AEBtan AEB ，求出，求出ABAB，在，在RtRtABCABC中，根据中，根据 求出求出BCBC即可即可5323ABBC【自主解答自主解答】 (1)BC (1)BC是直径，是直径，BDCBDC9090，ACBACBDBCDBC9090. .ABDABDACBACB，ABDABDDBCDBC9090，ABCABC9090，ABBCABBC，ABAB是圆的切线是圆的切线 (2)(2)在在RtRtAEBAEB中，中，tanAEBtanAEB ， ，即，即ABAB ，BEBE . .在在RtRtABCABC中，中， ，BCBC ABAB1010，圆的

11、直径为圆的直径为10.10.5353ABBE532032 3ABBC32切线的判定方法切线的判定方法(1)“(1)“连半径，证垂直连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直心与交点得到半径，证明半径与直线垂直(2)“(2)“作垂直，证等径作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定时，必须说明时，必须说明“是半径是半径”或或“点在圆上点在圆上”，这是最容易犯错，这是最容易犯错的地方的地方5 5(

12、2018(2018潍坊中考潍坊中考) )如图，如图，BDBD为为ABCABC外接圆外接圆O O的直径，的直径，且且BAEBAEC.C.(1)(1)求证：求证：AEAE与与O O相切于点相切于点A A；(2)(2)若若 AEBCAEBC，BCBC2 2 ，ACAC2 2 ，求求ADAD的长的长72(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OAOA交交BCBC于点于点F F，则，则OAOAODOD，D DDAO.DAO.DDC C，C CDAO.DAO.BAEBAEC C，BAEBAEDAO.DAO.BDBD是是O O的直径，的直径，DABDAB9090，即即DAODAOOABOAB9090，B

13、AEBAEOABOAB9090，即，即OAEOAE9090，AEOAAEOA，AEAE与与O O相切于点相切于点A.A.(2)(2)解：解：AEBCAEBC，AEOAAEOA，6 6(2018(2018胜利一中一模胜利一中一模) )如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，B B6060，CDCD是是O O的直径，点的直径，点P P是是CDCD延长线上的一点，且延长线上的一点，且APAPAC.AC.(1)(1)求证：求证：PAPA是是O O的切线；的切线；(2)(2)若若PDPD ，求，求O O的直径的直径3(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OA.OA.BB6060，AOCAOC2

14、B2B120120. .OAOAOCOC，OACOACACOACO3030，AODAODOACOACACOACO6060. .APAPACAC，P PACOACO3030，PAOPAO180180P PAODAOD9090，PAOAPAOA，PAPA是是O O的切线的切线(2)(2)解：如图，连接解：如图，连接AD.AD.由由(1)(1)知知AODAOD6060，OAOAODOD，AODAOD是等边三角形，是等边三角形，ADOADO6060，ADADOD.OD.PP3030，PADPAD3030，P PPADPAD，PDPDAD.AD.PDPD ，ADADODOD ，CDCD2OD2OD2 2

15、 ，O O的直径为的直径为2 .2 .3333考点三考点三 三角形的内切圆三角形的内切圆 (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018威海中考威海中考) )如图，在扇形如图，在扇形CABCAB中，中，CDABCDAB，垂足为，垂足为D D，E E是是ACDACD的内切圆，的内切圆，连接连接AEAE，BEBE，则，则AEBAEB的度数为的度数为 【分析分析】 连接连接EC.EC.首先证明首先证明AECAEC135135，再证明，再证明EACEACEABEAB即可解决问题即可解决问题【自主解答自主解答】如图，连接如图，连接EC.EC.EE是是ADCADC的内心，的内心，AECAEC9

16、090 ADCADC135135. .在在AECAEC和和AEBAEB中，中，EACEACEABEAB，AEBAEBAECAEC135135. .故答案为故答案为135135. .127 7(2017(2017武汉中考武汉中考) )已知一个三角形的三边长分别为已知一个三角形的三边长分别为5 5，7 7，8 8，则其内切圆的半径为，则其内切圆的半径为( )( )C C8 8(2018(2018娄底中考娄底中考) )如图，如图，P P是是ABCABC的内心，连接的内心，连接PAPA，PBPB，PCPC，PABPAB，PBCPBC，PACPAC的面积分别为的面积分别为S S1 1，S S2 2，S

17、S3 3. .则则S S1 1_S_S2 2S S3 3.(.(填填“”“”“”或或“”) ) 考点四考点四 圆的综合题圆的综合题百变例题百变例题(2018(2018广西中考广西中考) )如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，CBGCBGA A，CDCD为直径，为直径，OCOC与与ABAB相交于点相交于点E E，过点，过点E E作作EFBCEFBC，垂足，垂足为为F F，延长，延长CDCD交交GBGB的延长线于点的延长线于点P P，连接，连接BD.BD.(1)(1)求证：求证：PGPG与与O O相切；相切；(2)(2)若若 ，求，求 的值；的值；(3)(3)在在(2)(2)的条件下，若的

18、条件下，若O O的半径为的半径为8 8，PDPDODOD，求，求OEOE的长的长58EFACBEOC【分析分析】 (1) (1)要证要证PGPG与与O O相切只需证明相切只需证明OBGOBG9090，由，由A A与与BDCBDC是同弧所对圆周角，是同弧所对圆周角，BDCBDCDBODBO可得可得CBGCBGDBODBO，结合，结合DBODBOOBCOBC9090即可得证；即可得证；(3)(3)在在RtRtDBCDBC中求得中求得BCBC8 8 ，OCBOCB3030，在，在RtRtEFCEFC中中设设EFEFx x，ECEC2x2x，FCFC x x，BFBF8 8 x x，继而在，继而在Rt

19、RtBEFBEF中利用勾股定理求出中利用勾股定理求出x x的值，从而得出答案的值，从而得出答案3333【自主解答自主解答】(1)(1)如图，连接如图，连接OBOB，则，则OBOBODOD，BDCBDCDBO.DBO.BACBACBDCBDC，BACBACGBCGBC，GBCGBCBDC.BDC.CDCD是是O O的直径，的直径，DBODBOOBCOBC9090，GBCGBCOBCOBC9090，GBOGBO9090，PGPG与与O O相切相切 (2)(2)如图，过点如图，过点O O作作OMACOMAC于点于点M M，连接，连接OAOA，变式变式1 1：若：若CDCD6 6，PCBPCB3030

20、. .(1)(1)求证：求证：PBDPBDPCBPCB；(2)(2)点点Q Q在半圆在半圆DACDAC上运动，填空：上运动，填空：当当DQDQ 时，四边形时，四边形DQCBDQCB的面积最大；的面积最大；当当DQDQ 时，时，DBCDBC与与DQCDQC全等全等变式变式1 1：(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OB.OB.PBPB是是O O的切线，的切线，OBOB是半径，是半径，OBPBOBPB，PBOPBO9090，PBDPBDDBODBO9090. .CDCD是直径，是直径，DBCDBC9090，BCDBCDBDCBDC9090. .ODODOBOB，OBDOBDBDCBDC，B

21、CDBCDDBODBO9090，PBDPBDBCD.BCD.又又P PP P，PBDPBDPCB.PCB.(2)(2)解：解：3 .3 .提示：当点提示：当点Q Q运动到运动到OQCDOQCD时，四边形时，四边形BDQCBDQC的面积最大的面积最大如图，连接如图，连接DQDQ，CQ.CQ.ODODOCOC，OQCDOQCD，DQDQCQ.CQ.CDCD是直径，是直径，DQCDQC9090，2DQCDQC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，分两种情况：分两种情况：当当DQDQDBDB3 3时，时，在在RtRtDBCDBC和和RtRtDQCDQC中，中，DBCDBCDQC(HL)DQC(HL)当当DQDQCBCB3 3 时，同理时，同理DBCDBCCQD.CQD.综上所述，当综上所述，当DQDQ3 3或或3 3 时，时，DBCDBC与与DQCDQC全等全等33变式变式2 2：若：若BDBD BCBC，PCPC3 3，求，求PBPB的长的长解：解：BDBD BCBC， PCBPCBPBDPBD，tanPBDtanPBDtanPCBtanPCB PBDPBDPCBPCB，PBPB PCPC 3 32.2.23232.3BDBC2.3BDBC23PB BDPC BC ，2323