菲涅尔衍射(共6页)

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1、精选优质文档-----倾情为你奉上 菲涅尔衍射常用计算方法的研究 菲涅尔衍射积分有多种计算方法，其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法，本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下，从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]。 2.4.1 傅里叶变换算法（S-FFT算法） 由式（3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程 （2.4.1） 式中，表示傅里叶变换。这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下我们

2、简称S-FFT算法（single fast Fourier transform algorithm）。如果对式（2.4.1）进行离散化处理，则 （2.4.2） 式中，，是衍射面的抽样间隔，，是观察面的抽样间隔，，，，分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且，，，。，和，分别为衍射面和观察面上的总抽样点数。 在进行S-FFT计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸。现在仅讨论沿轴方向的情况，其结果可直接扩展到轴方向。如果实际空间长度为米的空间取样且有个抽样点，由抽样定理得知，得到其最高空间频率为

3、 (2.4.3) 这些衍射光对应的空间频率方向为 (2.4.4) 图2.4.1衍射屏最大尺寸示意图 由图2.4.1和式（2.4.4）得 （2.4.5） 由式（2.4.3）和式（2.4.5）联立可得观察面的最大计算尺寸为 （2.4.6） 因为是傍轴计算，式（2.4.5）还可以近似为 （2.4.7） 同样的式（2.4.6）可以化简为

4、 （2.4.8） 这个结果表明：使用S-FFT计算法，衍射观察面的尺寸不但是波长的函数，而且是取样点数和衍射距离的函数，当衍射距离很小时，如果保持取样数不变，则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域。因此，该算法主要适用于衍射距离较大的情况。 为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理，所以抽样间隔必须满足 （2.4.9） （2.4.10） 将式（2.4.10）代入式（2.4.8）得 （2.4.11） 式（2.4.9）和式（2.4.11）是一对矛盾，只有当

5、 （2.4.12） 才能完全满足奈奎斯特抽样定理。同理，轴方向采样间隔应满足 （2.4.13） 数值模拟计算时，取衍射面计算尺寸为，抽样点数，衍射图像为一“光”字，如下图2.4.1所示 图2.4.1衍射物 用一束波长的平行光照射，且衍射距离取，则由式（3.2.8）观察面尺寸 ，则模拟计算得到衍射图像为 图2.4.2 衍射图 2.4.2 T-FFT算法 由式（2.4.1）知，我们可以通过使用卷积的形式对菲涅尔衍射积分进行化简，由卷积定理得知，空域的卷积运算可以由傅里叶变换转化为空域的乘积

6、来进行计算，具体计算步骤如下： 第一步，进行傅里叶变换，转换到频域进行计算，得到乘积结果 （2.4.14） 第二步，将乘积结果逆傅里叶变换回到空域，完成衍射计算 （2.4.15） 式（2.4.14）和（2.4.15）中，是频域坐标，表示逆傅里叶变换。整个运算过程采用了三次傅里叶变换，称为卷积算法，以下我们简称T-FFT算法（triple fast Fourier transform algorithm）。 在T-FFT算法中，观察面的尺寸与衍射面的尺寸是相同的，主要是因为与的频谱在里相乘，要求是相同频率的频谱成分相乘

7、，其最高频率也就必须相等，由于抽样数是一样的，当然要求对应的几何尺寸相等，即 （2.4.16） 对于T-FFT算法 ，仅考虑菲涅尔传递函数的傅里叶变换式的离散抽样，根据奈奎斯特抽样定理得。 数值模拟计算时，取与S-FFT同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为 图2.4.3 衍射图 2.4.3 D-FFT算法 经研究表明，可以直接通过计算得到 （2.4.17） 所以，菲涅尔衍射积分公式化简为 （2.4.18） 由于在计算过程中，需要进行一次傅里叶变换和一次逆傅里叶变换，被称为角谱重建算法，以下我们简称D-FFT算法（Double fast Fourier transform algorithm）。同样的，其观察面的尺寸需满足式（2.4.16）[33-36]。 数值模拟计算时，取与S-FFT同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为 图2.4.4衍射图 专心---专注---专业