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1、牛吃草(消长问题)
开放分类： 数学、题型
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式解决消长问题的基础︰
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度
（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）
核心公式： 草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。由于牛在
2、吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程
每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1”
单位面积牧场上每天新增草量不变， 一般设为“”
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于
3、吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
典型牛吃草问题的条件:假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，
求:若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
“牛吃草”问题简析
华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐
【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】设该牧场每天长草量恰可供头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃天
根据核心公式：
，代入
【例2】有一块牧
4、场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】C
【解析】设该牧场每天长草量恰可供头牛吃一天，
根据核心公式：
，代入
【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35
【答案】D
【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要
5、头牛
根据核心公式：
，因此，
【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。
【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】
A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
【答案】B
【解析】设每分钟流入的水量相当于台抽水机的排水量，共需台抽水机
有恒等式：
解，得，代入恒等式
6、【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】
A.16 B.20 C.24 D.28
【答案】C
【解析】设每分钟流入的水量相当于台抽水机的排水量，共需小时
有恒等式：
解，得，代入恒等式
【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
【答案】C
【解析】
7、设每天新生长的野果足够只猴子吃，33只猴子共需周吃完
有恒等式：
解，得，代入恒等式
【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超高如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了(浙江2006)
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
【答案】D
【解析】设共需小时就无人排队了，
【例8】
旅客在车站候车室等车 并且排队的乘客按一定速度增加 检查速度也一定 当车站放一个检票口 需用半小时把所有乘客解决完毕 当开放2个检票口时 只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数
设一个检票口一分钟吃一个人
1个检票口30分钟吃30个人
2个检票口10分钟吃20个人
(30-20)/(30-10)=0.5个人
原有1*30-30*0.5=15人
或2*10-10*0.5=15人
牛吃草问题 常用到四个基本公式 解决消长问题的基础
