新编高考数学一轮复习学案训练课件： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和学案 理 北师大版

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1、 第二节　等差数列及其前n项和 [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． (对应学生用书第82页) [基础知识填充] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)． (2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项

2、，即A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为m

3、d的等差数列． 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． [知识拓展]　{an}为等差数列，Sn是{an}前n项和 (1)若an＝m，am＝n，则am＋n＝0， (2)若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)， (3)若Sm＝Sk(m≠k)，则Sm＋k＝0. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列

4、．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．2 D．－2 D　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．] 3

5、．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 B　[由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B．] 4．(20xx·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.] 5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 180　[由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，

6、∴a2＋a8＝2a5＝180.] (对应学生用书第82页) 等差数列的基本运算 　(1)(20xx·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. 【导学号：79140171】 (1)C　(2)－72　[(1)设{an}的公差为d，则 由 得解得d＝4. 故选C． (2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由已知，得解得 所以S16＝

7、16×3＋×(－1)＝－72.] [规律方法]　解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”. (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解. (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程. [跟踪训练]　(1)(20xx·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　) A．9 B．10

8、 C．11 D．15 (2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为(　　) A． B． C． D． (1)B　(2)A　[(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10. (2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{an}，且a1＝5，S30＝390，设公差为d，则30×5＋×d＝390，解得d＝，则a2＝a1＋d＝，故选A．] 等差数列的判定与证明 　(20xx·全国卷Ⅰ)

9、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． [解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列． 规律方法]　等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明. (2)等差中项法：2an＋1＝a

10、n＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明. (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列. [跟踪训练]　(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，则该数列的通项为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ (2)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)． ①求证：数列{bn}是等差数列． ②求数列{an}中的通项公式an. (1)A　[由已知式＝＋可得 －＝－，知是

11、首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.] (2)①证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N＋)， bn＝. 所以n≥2时，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－， 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． ②由(1)知，bn＝n－， 则an＝1＋＝1＋. 等差数列的性质及最值 　(1)(20xx·东北三省三校二联)等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，则数列{an}的前9项的和S9等于(　　) A．66 B．99 C．144 D．297 (2)在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n

12、项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，n＝________，Sn的最大值为________. 【导学号：79140172】 (1)B　(2)10或11　55　[(1)根据等差数列的性质知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故选B． (2)法一：因为a1＝10，S9＝S12， 所以9×10＋d＝12×10＋d， 所以d＝－1. 所以an＝－n＋11. 所以a11＝0，即当n≤10时，an＞0， 当n≥12时，an＜0， 所以当n＝10或11时，Sn取得最大值，且最大值为S10＝S11＝10

13、×10＋×(－1)＝55. 法二：同法一求得d＝－1. 所以Sn＝10n＋·(－1)＝－n2＋n ＝－＋. 因为n∈N＋，所以当n＝10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10＝S11＝55. 法三：同法一求得d＝－1. 又由S9＝S12得a10＋a11＋a12＝0. 所以3a11＝0，即a11＝0. 所以当n＝10或11时，Sn有最大值． 且最大值为S10＝S11＝55.] [规律方法]　1.等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)

14、和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1). ②S2n－1＝(2n－1)an. 2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法. ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm. ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 易错警示：易忽视n∈N＋. [跟踪训练]　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D． (2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________. (1)A　(2)200　[＝＝＝×＝1. (2)依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.]