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1、
课时规范练7 一次函数、二次函数
一、选择题
1.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为( )
A.y=2(x-1)2+3 B.y=2(x+1)2+3
C.y=-2(x-1)2+3 D.y=-2(x+1)2+3
答案:D
解析:设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a≠0),由题意可知a=-2,h=1,k=3,故y=-2(x+1)2+3.
2.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( )
A.f(-2)
2、
3、知函数h(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.(-∞,40] B.[160,+∞)
C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.⌀
答案:C
解析:函数h(x)的对称轴为x=,要使h(x)在[5,20]上是单调函数,应有≤5或≥20,即k≤40或k≥160,故选C.
5.已知函数f(x)=ax2+(b+c)x+1(a≠0)是偶函数,其定义域为[a-c,b],则点(a,b)的轨迹是( )
A.线段 B.直线的一部分
C.点 D.圆锥曲线
答案:B
解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以
故a=-2b(b>
4、0),即点(a,b)的轨迹是直线的一部分.
6.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a的值为( )[来源:]
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
解析:∵f(-x)=f(x),∴(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,
∴|-x+a|=|x+a|,∴(-x+a)2=(x+a)2,即4ax=0,∴a=0.
二、填空题
7.函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是 ,最大值是 .
答案:-3 9
解析:f(x)=2.当x=1时,f(x)min=-3;
当x=-1时,f(x)max=9.
8.若二次函数f(x)=x2
5、-kx+1满足f(1-x)=f(1+x),则f(2)= .
答案:1
解析:由已知二次函数f(x)=x2-kx+1的对称轴为x=1,即=1,∴k=2,∴f(2)=22-2×2+1=1.
9.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为 .
答案:或-3
解析:f(x)的对称轴为x=-1.
当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,
f(-3)=3a+1.∴f(2)>f(-3),
即f(x)max=f(2)=8a+1=4.∴a=.
当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,
∴a=-3.综
6、上所述,a=或a=-3.
10.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
答案:-2x2+4
解析:∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称,
∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).
又∵f(x)=-2x2+2a2且值域为(-∞,4],
∴2a2=4,f(x)=-2x2+4.
11.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 .
答案:m≤-5
解析:∵不等式x2+mx+4<0对x∈(
7、1,2)恒成立,
∴mx<-x2-4对x∈(1,2)恒成立,
即m<-对x∈(1,2)恒成立,令y=x+,
则函数y=x+在x∈(1,2)上是减函数,∴4
8、0)=1.在区间[-1,1]上,y=f(x)图象恒在直线y=2x+m上方,试确定实数m的取值范围.
解:由f(0)=1,可设f(x)=ax2+bx+1(a≠0),
故f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2ax+a+b,
由题意得解得
故f(x)=x2-x+1.
由题意得x2-x+1>2x+m,
即x2-3x+1>m对x∈[-1,1]恒成立,
设g(x)=x2-3x+1,则问题可转化为g(x)min>m,
又g(x)在[-1,1]上递减,
故g(x)min=g(1)=-1,故m<-1.
14.已知函数f(x)=-x2+ax+在区间[
9、0,1]上的最大值为2,求a的值.
解:f(x)=-.
①当∈[0,1],即0≤a≤2时,f(x)max==2,
则a=3或a=-2,不合题意.
②当>1,即a>2时,f(x)max=f(1)=2⇒a=.
③当<0,即a<0时,f(x)max=f(0)=2⇒a=-6.
综上,f(x)在区间[0,1]上最大值为2时,a=或a=-6.
15.二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),设f(x)=x的两个实根为x1,x2.
(1)如果b=2且|x2-x1|=2,求a的值;
(2)如果x1<2-1.[来源:]
(1)解:
10、当b=2时,f(x)=ax2+2x+1(a>0),
方程f(x)=x为ax2+x+1=0.
|x2-x1|=2⇒(x2-x1)2=4⇒(x1+x2)2-4x1x2=4.
由韦达定理可知,x1+x2=-,x1x2=.
代入上式可得4a2+4a-1=0,
解得a=或a=(舍去).
(2)证明:因为ax2+(b-1)x+1=0(a>0)的两根满足x1<20.
又因为函数f(x)的对称轴为x=x0,故x0=->-1.
四、选做题
1.(20xx浙江高考)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx
11、+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
答案:A
解析:由f(0)=f(4)知二次函数f(x)=ax2+bx+c对称轴为x=2,即-=2.所以4a+b=0.又f(0)>f(1)且f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数f(x)在(-∞,2]上单调递减,则抛物线开口方向朝上,知a>0,故选A.
2.已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1,0
12、x-1)2+1,∴f(x)≤1,∴≤1,即m≥1,∴f(x)在[m,n]上单调递减,∴f(m)=-2(m-1)2+1=且f(n)=-2(n-1)2+1=.∴.
3.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性;
(2)若-≤a≤,求f(x)的最小值.
解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),
此时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=+a+,
∵a≤,故函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,
从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=-a+,
∵a≥-,故函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,
从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上得,当-≤a≤时,函数f(x)的最小值为a2+1.
新编高考数学复习 课时规范练7 一次函数、二次函数
