新版高考数学复习 课时规范练35　空间几何体的表面积与体积

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2、 1 课时规范练35　空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1.正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的表面积为(　) A.48(3+) B.48(3+2) C.24() D.144 答案:A 2.如图,一个简单组合体的正视图和侧视图相同,是由一个正方形与一个正三角形构成,俯视图中,圆的半径为.则该组合体的表面积为(　　) A.15π B.18π C.21π D

3、.24π 答案:C 解析:由三视图可知,该几何体是由圆锥与等底面的圆柱组合而成的组合体,所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和,所以该几何体的表面积为S=π××2+2π××2+π×()2=21π. 3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为(　) A. m3 B. m3 C. m3 D. m3 答案:C 解析:结合三视图可知,该几何体是由三个棱长为1 m的正方体和半个棱长为1 m的正方体组成的,所以该几何体的体积V=3×1×1×1+×1×1×1=(m3). 4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台

4、的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(　　) A.7 B.6 C.5 D.3 答案:A 解析:设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.[来源:] 由S=π(r+3r)·3=84π,解得r=7. 5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为(　　) A.π B.π+ C.π+ D.π+ 答案:C 解析:由三视图可知该几何体为一个半圆锥,即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得.∴S=×2××π+×2π×1=π+. 6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　) A.75+2 B.75+4 C.48+4 D.48+2 答案:B

5、 解析:由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面面积之和为2××3=27,四个侧面的面积之和是(3+4+5+)×4=48+4,故表面积是75+4. 7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 答案:B 解析:如图,O1,O分别为上、下底面的中心, D为O1O的中点,则DB为球的半径,有r=DB=, ∴S表=4πr2=4π×πa2. 二、填空题 8.四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图,则四棱锥P-ABCD的体积为　　　　　.  答

6、案:a3 解析:易知该四棱锥中,PA⊥底面ABCD,PA=a,底面是边长为a的正方形,故体积V=a2×a=a3. 9.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120°,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为　　　　　.  答案: 解析:因为扇形弧长为2π,所以圆锥母线长为3,高为2,所求体积V=×π×12×2. 10.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为　　　　　.  答案: 解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,底面积为S,体积为V,则有2πr=2⇒r=,故底面面积S=πr2=π×,故圆柱的体积V=Sh=×2=. 11.已知某几何体的三视图的正

7、视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的全面积为　　　　　.  答案:26π 解析:由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为2的圆台,则几何体的全面积S=π×1+π×9+π×(1+3)×=26π. 12.如图是一个空间几何体的三视图,则这个几何体的外接球的体积是　　　　　.  答案:π cm3 解析:由题意可知,该几何体是一个有同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥,该三棱锥的底面是直角三角形,它的两条直角边的长度分别为4,3,三棱锥的高为5,以长4、宽3、高5补成一个长方体,可知外接球的大圆直径就等于该长方体的体对角线的长,从而有2R==5

8、(cm),故球的体积为V=πR3=π(cm3). 三、解答题 13. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S. 解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥. (1)V=×(8×6)×4=64. (2)该四棱锥有两个侧面PAD,PBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1==4,另两个侧面PAB,PCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2==5,因此S=2=40+24. 14.如图所

9、示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积. 解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h, 由已知条件 解得r=,l=4, S全面积=πrl+πr2=10π,h=,V=πr2h=2π. 15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点. [来源:] (1)求该多面体的体积与表面积; (2)求证:GN⊥AC; (3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明. (1)解:由题

10、中三视图可知该多面体为直三棱柱, AD⊥DF,DF=AD=DC=a, ∴该多面体的体积为a3, 表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2. (2)证明:连接DB,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.[来源:] ∵GD⊥AD,GD⊥CD,AD∩CD=D, ∴GD⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD, ∴GD⊥AC. 又DN∩GD=D, ∴AC⊥平面GDN,∴GN⊥AC. (3)解:点P与点A重合时,GP∥平面FMC. 证明:取FC的中点H,连接GH,GA,MH. ∵G是DF的中点,∴GH􀰿CD.

11、 又M是AB的中点,∴AM􀰿CD. ∴GH􀰿AM,∴四边形GHMA是平行四边形. ∴GA∥MH. ∵MH⊂平面FMC,GA⊄平面FMC, ∴GA∥平面FMC, 即当点P与点A重合时,GP∥平面FMC. 四、选做题 1.过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面,这样的平面有4个,用这样的四个平面截去4个小棱锥后,剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比为(　　) A.1∶2 B.3∶2 C.4∶3 D.1∶3 答案:A 解析:如图所示,设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则依题意截去四个小棱锥后,得到的四个截面的面

12、积分别为S1,S2,S3,S4,原四面体各个面上剩余部分的面积为S1,S2,S3,S4,则剩下的几何体的表面积为2×,其与原四面体的表面积之比为,故应选A. 2.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为　　　　cm.  答案:13[来源:] 3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求: [来源:] (1)三棱锥P-ABC的体积; (2)异面直线BC与AD所成的角的余弦值. 解:(1)S△ABC=×2×2=2,三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC×PA=×2×2=. (2)取PB的中点E,连接DE,AE, 则ED∥BC, 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角. 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2, cos∠ADE=, 因此,异面直线BC与AD所成的角的余弦值是.