新版高考数学复习 第四章 第二节

《新版高考数学复习 第四章 第二节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高考数学复习 第四章 第二节（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 1

2、 1 课时提升作业(二十六) 一、选择题 1.(20xx·宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于　(　　) (A)-12a+32b　　　　　 　(B)12a-32b (C)-32a-12b (D)-32a+12b 2.(20xx·蚌埠模拟)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(12,1+sinθ)

3、,若a∥b,则锐角θ等于　(　　) (A)30°　　　(B)45°　　　(C)60°　　　(D)75° 3.(20xx·抚州模拟)原点O是正六边形ABCDEF的中心,OA→=(-1,-3), OB→=(1,-3),则OC→等于(　　) (A)(2,0) (B)(-2,0) (C)(0,-23) (D)(0,3) 4.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　(　　) (A)(

4、2,0) (B)(0,-2) (C)(-2,0) (D)(0,2) 5.如图所示,已知AB→=2BC→,OA→=a,OB→=b,OC→=c,则下列等式中成立的是　(　　) (A)c=32b-12a (B)c=2b-a (C)c=2a-b (D)c=32a-12b 6.(20xx·西安模拟)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是(　　) (A)m≠-2 (B)m≠12 (C)m≠1 (D)m≠-1 7.已

5、知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论: ①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2; ②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2; ③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线; ④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线. 其中正确结论的个数是　(　　) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC→=αOA→+βOB→

6、,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为　(　　) (A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)3x+2y-11=0 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 9.(20xx·黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设AP→=αAD→+βAB→,则α+β的最大值是　(　　) (A)34　　　 (B)43　　 　(C)32　　 　(D)23 10.已知a=(sinα-cosα,20xx),b=(sinα+cosα,1),且a∥b,则tan2α-1cos2α的值为(　　) (A

7、)-20xx (B)-12 014 (C)20xx (D)12 014 二、填空题 11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为　　　　. 12.如图,在□ABCD中,AB→=a,AD→=b,AN→=3NC→,M是BC的中点,则MN→=　　　　(用a,b表示). 13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=　　　　. 14.(20xx·合肥模拟)给出以下四个命题: ①四边形ABCD是菱形的充要条件是AB→=DC→,且|AB→|=|AD→

8、|; ②点G是△ABC的重心,则GA→+GB→+CG→=0; ③若AB→=3e1,CD→=-5e1,且|AD→|=|BC→|,则四边形ABCD是等腰梯形; ④若|AB→|=8,|AC→|=5,则3≤|BC→|≤13. 其中所有正确命题的序号为　　　　. 三、解答题 15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c. (2)求满足a=mb+nc的实数m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k. 答案解析 1.【解析】选B.设c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-

9、1), ∴-1=λ+μ,2=λ-μ,∴λ=12,μ=-32, ∴c=12a-32b. 2.【解析】选B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1×12=0, ∴sinθ=±22, 又θ为锐角,∴θ=45°. 3.【解析】选A.∵在正六边形ABCDEF中,OABC为平行四边形,∴OB→=OA→+OC→, ∴OC→=OB→-OA→=(2,0). 4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由-λ+μ=2,λ+2μ=4,解得λ=0,μ=2. ∴a=0m+2n

10、, ∴a在基底m,n下的坐标为(0,2). 5.【解析】选A.由AB→=2BC→得AO→+OB→=2(BO→+OC→),所以2OC→=-OA→+3OB→,即c=32b-12a. 6.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集. 【解析】选C.若点A,B,C不能构成三角形,则只能共线. ∵AB→=OB→-OA→=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), AC→=OC→-OA→=(m+1,m-2)-(1,-3) =(m,m+1). 假设A,B,C三点共线, 则1×(m+1)-2m=0,即m=1. ∴若A,B,C三点能构成三角形,则m≠1. 7.【解析】选

11、B.(1)若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线, ∴λk=2,λ=-1,解得k=-2.故①正确,②不正确. (2)若e1与e2共线,则e2=λe1,有 ∵e1,e2,a,b为非零向量,∴λ≠2且λ≠-k, ∴12-λa=1k+λb,即a=2-λk+λb,这时a与b共线, ∴不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确. 综上,正确的结论为①④. 8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解. 【解析】选D.设C(x,

12、y),则OC→=(x,y),OA→=(3,1),OB→=(-1,3).由OC→=αOA→+βOB→,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β). 于是x=3α-β,　①y=α+3β,②α+β=1.③ 由③得β=1-α代入①②,消去β得x=4α-1,y=3-2α, 再消去α得x+2y=5, 即x+2y-5=0. 【一题多解】由平面向量共线定理,得当OC→=αOA→+βOB→,α+β=1时,A,B,C三点共线. 因此,点C的轨迹为直线AB, 由两点式求直线方程得y-13-1=x-3-1-3, 即x+2y-5=0. 9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P

13、(x,y),求出α+β与x,y的关系,运用线性规划求解. 【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y). ∴AP→=(x,y),AD→=(0,1),AB→=(3,0). ∵AP→=αAD→+βAB→, 即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α), ∴x=3β,y=α,∴α=y,β=x3, ∴α+β=x3+y. 由线性规划知识知在点C(1,1)处x3+y取得最大值43. 10.【思路点拨】根据向量的共线求出tanα,再利用三角变换公式求值. 【解析】选C.由a∥b得sinα-cosαsi

14、nα+cosα=20xx,即tanα-1tanα+1=20xx,解得tanα=-2 0152 013. tan2α-1cos2α=2tanα1-tan2α-cos2α+sin2αcos2α-sin2α=2tanα1-tan2α-1+tan2α1-tan2α=-(1-tanα)21-tan2α=-1-tanα1+tanα. 将tanα=-2 0152 013代入上式得, tan2α-1cos2α=20xx. 【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法 向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再

15、根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决. 11.【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ). 设B(x,y),则AB→=(x-1,y-2)=b. 由-2λ=x-1,3λ=y-2,⇒x=1-2λ,y=3λ+2. 又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0, 所以B(0,72)或(73,0). 答案:(0,72)或(73,0) 12.【解析】由题意知MN→=MC→+CN→ =12BC→+14CA→=12BC→-14AC→ =12AD→-14(AB→+AD→) =12AD→-14AB→-14AD→=-14AB→+14AD→ =-14a+14b. 答案:-

16、14a+14b 13.【解析】由a=(1,2),a-12b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6). 由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1. 答案:-1 14.【解析】对于①,当AB→=DC→时,则四边形ABCD为平行四边形,又|AB→|=|AD→|,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则AB→=DC→,且|AB→|=|AD→|,故①正确;对于②,若G为△ABC的重心,则GA→+GB→+GC→=0,故不正确;对于③,由条件知CD→=-53AB→,所以CD→∥AB→且|CD→|>|AB→|, 又|AD→|=|BC→

17、|,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于④,当AB→,AC→共线同向时,|BC→|=3,当AB→,AC→共线反向时,|BC→|=8+5=13,当AB→,AC→不共线时3<|BC→|<13,故正确.综上正确命题为①③④. 答案:①③④ 15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89. (3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2

18、+k),2b-a=(-5,2). ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, ∴k=-1613. 【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). (1)求实数x,使两向量AB→,CD→共线. (2)当两向量AB→与CD→共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上? 【解析】(1)AB→=(x,1),CD→=(4,x). ∵AB→∥CD→, ∴x2-4=0,即x=±2. ∴当x=±2时,AB→∥CD→. (2)当x=-2时,BC→=(6,-3),AB→=(-2,1), ∴AB→∥BC→.此时A,B,C三点共线, 从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上. 但x=2时,A,B,C,D四点不共线.