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1、
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第6节 正弦定理和余弦定理及其应用
课时训练 练题感 提知能
【选题明细表】
知识点、方法
题号
用正、余弦定理解三角形
1、5、8、9、11
与三角形面积有关的问题
2、4
判断三角形的形状
3、10
实际应用问题
7、15
综合应用
6、12、13、14、16
A组
一、选择题
1.(2
3、0xx广东湛江十校联考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于( A )
(A)22 (B)23 (C)6-2 (D)4
解析:A=180°-30°-15°=135°,
由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212,
即a=22.故选A.
2.(20xx潮州二模)在△ABC中,A=π3,AB=2,且△ABC的面积为32,则边AC的长为( A )
(A)1 (B)3 (C)2 (D)2
解析:S△ABC=12AB·AC·sin A
=12×2·AC·sinπ3=32,
∴AC=1.故选A.
3.(20xx湛江高
4、考测试(二))若三条线段的长分别为3,5,7,则用这三条线段( C )
(A)能组成直角三角形 (B)能组成锐角三角形
(C)能组成钝角三角形 (D)不能组成三角形
解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够构成三角形,边长为7的边所对的内角的余弦等于32+52-722×3×5<0,因此,该内角是钝角.该三角形是钝角三角形,故选C.
4.(20xx汕头市高三质量测评(二))在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知c=2,C=π3,△ABC的面积S△ABC=3,则△ABC的周长为( A )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)4+23
解析:依题
5、意得12absin C=34ab=3,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4⇒(a+b)2-3ab=4⇒(a+b)2=16⇒a+b=4⇒a+b+c=6,即△ABC的周长是6,故选A.
5.(20xx汕头市高三质量测评(一))在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinCsinA=2,b2-a2=32ac,则cos B等于( C )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
解析:∵ca=sinCsinA=2,即c=2a,又b2-a2=32ac,由余弦定理得
b2=c2+a2-2accos B,
∴32a×2a=4a2-4a2cos B
6、,即cos B=14.
6.(20xx珠海一模)直线l1与l2相交于点A,点B、C分别在直线l1与l2上,若AB→与AC→的夹角为60°,且|AB→|=2,|AC→|=4,则|BC→|等于( B )
(A)22 (B)23 (C)26 (D)27
解析:由题意,△ABC中,∠A=60°,AB=2,AC=4.
由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12,
∴BC=23.
故选B.
二、填空题
7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是120元/m2,则购买这种草皮需要
7、 元.
解析:三角形空地面积
S=12×123×25×sin 120°=225(m2),
故共需225×120=27000(元).
答案:27000
8.(高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b= .
解析:由已知根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B
得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-14),
即15b-60=0,得b=4.
答案:4
9.(20xx潮州高三期末质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,则cos A= .
解析:由(2b-
8、c)cos A=acos C,
得2bcos A=ccos A+acos C,
2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,
故2sin Bcos A=sin(A+C),
又在△ABC中,sin(A+C)=sin B>0,故cos A=12.
答案:12
10.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC的形状为 .
解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得
sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,
2sinBcos A=2sin Acos A.
∴cos
9、 A=0或sin A=sin B.
∵0
10、2×sin ∠DBC
=9+532.
(2)由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsinA,
∴sin ∠ABD=ADBD×sin A=91050.
12.(20xx深圳市二调)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.
(1)求角C的大小;
(2)求sin(B+π3)的值.
解:(1)由余弦定理可得
cos C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,
∵0
11、锐角,
∴cos B=1-sin2B=1-(5314) 2=1114,
∴sin(B+π3)=sin Bcos π3+cos Bsin π3
=5314×12+1114×32
=437.
B组
13.(高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )
(A)10 (B)9 (C)8 (D)5
解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,
即cos2A=125,
又因为△ABC为锐角三角形,
所以cos A=15.
在△ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6
12、×15,
即b2-125b-13=0,
即b=5或b=-135(舍去),故选D.
14.在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若
a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a⊥b,则B= .
解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,
利用正弦定理,可得
sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=
sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,
即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,
因为sin A≠0,故cos B=12,因此B=π3.
答案:π3
13、
15.如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.
(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等?
(2)求B、D的距离.
解:(1)如图所示,在△ADC中,
∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,
∴CD=AC=0.1 km,
又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
∴∠CED=90°,
∴CB是△CAD底边AD的中垂线,
∴BD=BA.
(2)在△ABC中,∠
14、ABC=75°-60°=15°,
由正弦定理得ABsin∠BCA=ACsin∠ABC,
∴AB=0.1·sin60°sin15°=32+620(km),
∴BD=32+620(km).
故B、D间的距离是32+620km.
16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.
(1)求证:a,b,c成等比数列;
(2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.
(1)证明:∵在△ABC中,
sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,
∴sin BsinAcosA+sinCcosC=sinA
15、cosA·sinCcosC,
∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,
∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C,
∵A+C=π-B,
∴sin(A+C)=sin B,
∴sin2 B=sin Asin C,
由正弦定理得,b2=ac,
∴a,b,c成等比数列.
(2)解:∵a=1,c=2,
∴b2=ac=2,∴b=2,
∴cos B=a2+c2-b22ac=12+22-22×1×2=34,
∵0
新版高三数学复习 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用
