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1、
第6节 空间直角坐标系
课时训练 练题感 提知能
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间中点的坐标
1、2、5、13
空间中点的对称问题
3、6、7、9
空间两点间距离公式及应用
4、8、10、11、12、13
A组
一、选择题
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( C )
(A)y轴上 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)x轴上
解析:因为点(2,0,3)的纵坐标为0,横坐标、竖坐标都不为0,所以点(2,0,3)在x轴、z轴所确定的平面上.故选C.
2
2、.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则B点的坐标是( B )
(A)(1,2,0) (B)(0,2,3) (C)(1,0,3) (D)(1,0,0)
解析:点在yOz平面的横坐标为0,其他坐标与A点相同,所以B点坐标为(0,2,3).故选B.
3.已知空间一点A(-3,1,4),则点A关于原点对称的点的坐标为( C )
(A)(1,-3,-4) (B)(-4,1,-3)
(C)(3,-1,-4) (D)(4,-1,3)
解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵、竖坐标全部变为原来的相反数.故选C.
4.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3
3、,-2,3),则正方体的体积为( C )
(A)8 (B)27 (C)64 (D)128
解析:由于A、B是正方体不在同一个平面上的两个顶点,
所以A、B必为正方体一体对角线的两顶点,
由于|AB|=(-1-3)2+(2+2)2+(-1-3)2=43,
故正方体的边长为4,体积为43=64.故选C.
5.以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( B )
(A)0,12,12
(B)12,0,12
(C)12,12,0
(D)12,12,12
解析:连接A
4、B1和A1B交于点O.
据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.
由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),
∴AB1的中点坐标为12,0,12,
故选B.
二、填空题
6.在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M′,则M′在平面xOz上的射影M″的坐标是 .
解析:点M(2,1,-3)关于原点的对称点为M′(-2,-1,3),点M′在平面xOz上的射影M″的坐标是(-2,0,3).
答案:(-2,0,3)
7.已知点A(1,-2,1)关于平面xOy的对称点为A1,则|AA1|= .
解析:易知A1(1,-2,-1),
5、
所以|AA1|=(1-1)2+(-2+2)2+(1+1)2=2.
答案:2
8.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为 .
解析:设P(0,b,0),因为|PA|=|PB|,
所以(1-0)2+(2-b)2+(3-0)2
=(2-0)2+(-1-b)2+(4-0)2,
解得b=-76.
答案:（0,-76,0）
9.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足为N,则N点关于原点的对称点的坐标是 .
解析:因为点M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足为N,
所以N(-2,
6、0,-3),
所以N点关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).
答案:(2,0,3)
三、解答题
10. 如图所示,在长方体OABCO1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,作OD⊥AC于点D,求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离.
解:以O为坐标原点,以OA,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0),
∴|B1E|=(2-1)2+(3-3)2+(2-0)2=5.
设D(x,y,0),在Rt△AOC中,
|OA|=2,|OC|=3,|A
7、C|=13,
∴|OD|2=（2×313）2=3613,
∴|O1D|=|OD|2+|OO1|2=3613+4=228613.
11. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,F是BD的中点,G在CD上,且|CG|=14|CD|,E为C1G的中点,求EF的长.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,
由题意得F12,12,0,C1(0,1,1),G0,34,0,
所以E0,78,12,
所以|EF|=12-02+12-782+0-122
=14+964+14
=418.
即EF的长为418.
B组
12.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),
8、点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A、B两点的最短距离是( B )
(A)6 (B)342 (C)3 (D)174
解析:法一 因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,
故可设点B为(x,-x+1,0),
所以|AB|=(x+1)2+(-x+2)2+(0-2)2
=2x2-2x+9
=2x-122+172,
所以当x=12,即B12,12,0时,|AB|取得最小值342.
故选B.
法二 设点A在平面xOy内的射影为A′(-1,-1,0),则A′、B的最短距离等于平面直角坐标系中A″(-1,-1)到直线x+y=1的距离d,则d=322
9、.又|A′A|=2,则|AB|min=4+184=342.故选B.
13.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,E、F分别是棱AB、CD的中点.
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;
(2)求EF的长.
解:(1)设底面正三角形BCD的中心为O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO⊥平面BCD,M是BC的中点,且DM⊥BC,过O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM.
以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则|OD|=23|DM|=23×32=33,
|OM|=13|DM|=36,
|OA|=|AD|2-|DO|2=1-39=63,
所以A（0,0,63）,B（36,-12,0）,
C（36,12,0）,D（-33,0,0）.
(2)由(1)及中点坐标公式得
E（312,-14,66）,F（-312,14,0）,
∴|EF|=(-36) 2+(12) 2+(-66) 2=22.
新编高三数学复习 第6节 空间直角坐标系
