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1、
【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第6篇 第2节 基本不等式课时训练 理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
利用基本不等式比较大小、证明
1、4、14
利用基本不等式求最值
2、3、8、9
基本不等式的实际应用
6、10、15
基本不等式的综合问题
5、7、11、12、13
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg（x2+14）>lg x(x>0)
(B)sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x2+1≥2|x|(x∈R)
(D)1x2+1>1(x∈R)
解析:对选项A,当x>0时,x2+14-x=（
2、x-12）2≥0,
∴lg（x2+14）≥lg x;
对选项B,当sin x<0时显然不成立;
对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;
对选项D,∵x2+1≥1,
∴0<1x2+1≤1.
故选C.
2.当x>0时,函数f(x)=2xx2+1有( B )
(A)最小值1 (B)最大值1
(C)最小值2 (D)最大值2
解析:f(x)=2x+1x≤22x·1x=1.
当且仅当x=1x,x>0即x=1时取等号.
所以f(x)有最大值1.
3.若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( C )
(A)245 (B)285 (C)5 (D)6
3、
解析:由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x>0,y>0),
则3x+4y=15(3x+4y)（3x+1y）
=15(13+12yx+3xy)
≥15(13+212yx·3xy)
=15(13+12)=5.
当且仅当12yx=3xy,
即x=2y时,等号成立,
此时由x=2y,x+3y=5xy,
解得x=1,y=12.故选C.
4.(20xx重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+1a-2(a>2),q=(12) x2-2(x∈R),则p,q的大小关系为( A )
(A)p≥q (B)p>q (C)p
4、≥2+2=4,当且仅当a=3时,取得等号;而由于x2-2≥-2,故q=(12) x2-2≤(12)-2=4,故p≥q.故选A.
5.(20xx南昌模拟)设a>0,b>0,若3是3a与32b的等比中项,则2a+1b的最小值为( A )
(A)8 (B)4 (C)1 (D)14
解析:由已知得3a×32b=3,即3a+2b=3,
所以a+2b=1,
所以2a+1b=(a+2b)(2a+1b)
=4+4ba+ab≥4+24ba×ab=8.
当且仅当4ba=ab,a+2b=1,
即a=2b=12时取等号.
所以最小值为8.故选A.
6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为8
5、00元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( B )
(A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件
解析:每批生产x件产品,
则每件产品的生产准备费用是800x元,仓储费用是x8元,每件产品的总的费用y=800x+x8≥2800x·x8=20,
当且仅当800x=x8时取等号,得x=80.
故选B.
7.(20xx吉安模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,2a+b=8,则1x+1y的最大值为( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)log23
6、
解析:由题意得1x=log2a,1y=log2b,
1x+1y=log2a+log2b=log2(ab)
=log2(2a·b)-1≤log2(2a+b2)2-1
=log2(82)2-1=3.
当且仅当2a=b.2a+b=8,即a=2,b=4时取等号.
故选B.
二、填空题
8.(20xx洛阳月考)设正实数a,b满足a+b=2,则1a+a8b的最小值为 .
解析:依题意得1a+a8b=a+b2a+a8b=12+b2a+a8b≥12+2b2a×a8b=1,当且仅当b2a=a8b,a+b=2即a=2b=43时取等号,因此1a+a8b的最小值是1.
答案:1
9.
7、(20xx南昌模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
解析:9=x+3y+xy=x+3y+13·(x·3y)≤x+3y+13·(x+3y2)2,
所以(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
所以x+3y≥6或x+3y≤-18(舍去).
当且仅当x=3y=3时取“=”.
答案:6
10.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.
解析:每台机器运
8、转x年的年平均利润为yx=18-(x+25x),而x>0,故yx≤18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.
答案:5 8
11.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为 .
解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,
所以圆心为(2,-1),
因为直线过圆心,
所以2a+2b=2,即a+b=1.
所以ab≤（a+b2）2=14,当且仅当a=b=12时取等号,
所以ab的最大值为14.
答案:14
12.函数y=a1-x(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点
9、A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则1m+1n的最小值为 .
解析:A(1,1),由点A在直线mx+ny-1=0上,
得m+n=1,
所以1m+1n=(m+n)（1m+1n）=2+mn+nm≥2+2mn·nm=4.
当且仅当m=n=12时取等号.
答案:4
13.(20xx阜阳模拟)已知二次函数f(x)=cx2-4x+a+1的值域是[1,+∞),则1a+9c的最小值是 .
解析:由题意得c>0,4c(a+1)-(-4)24c=1,即c>0,ac=4.
所以1a+9c=c+9aac=c+9a4≥14×2c×9a=32ac
=3.
当且仅当9a=c,a
10、c=4即a=23,c=6时取等号.
答案:3
三、解答题
14.已知函数f(x)=lg x,若x1,x2>0,判断12[f(x1)+f(x2)]与f（x1+x22）的大小,并加以证明.
解:12[f(x1)+f(x2)]≤f（x1+x22）.
证明如下:
∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),
f（x1+x22）=lg x1+x22,
且x1,x2>0,x1x2≤（x1+x22）2,
∴lg(x1x2)≤lg（x1+x22）2,
∴12lg(x1x2)≤lg x1+x22,
∴12(lg x1+lg x2)≤lg x1+x22.
即12[f
11、(x1)+f(x2)]≤f（x1+x22）,
当且仅当x1=x2时,等号成立.
15.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解:(1)设题中比例系数为k,每批购入x张书桌,
则共需分36x批,每批价值为20x元,
由题意得f(x)=36x·4+k·20x.
由x=4时,f(x)=52,
得k=1680=15.
∴f(x)=144x+4x(0
新编新课标高三数学一轮复习 第6篇 第2节 基本不等式课时训练 理
