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1、
【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第3篇 第5节 三角恒等变换课时训练 理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
三角函数的化简求值
2、7、14
给值求值
1、3、5、10、11
给值求角
4、8、9、13
综合问题
6、12、15、16
基础过关
一、选择题
1.(20xx温州一模)已知sin 2α=13,则cos2(α-π4)等于( C )
(A)13 (B)-13 (C)23 (D)-23
解析:cos2(α-π4)=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2
=1+132=23.故选C.
2.化简sin235°-12cos10
2、°cos80°等于( C )
(A)-2 (B)-12 (C)-1 (D)1
解析:sin235°-12cos10°cos80°=1-cos70°2-12cos10°sin10°=-12cos70°12sin20°=-1.
故选C.
3.在△ABC中,tan A=12,cos B=31010,则tan C的值是( B )
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
解析:由sin2B+cos2B=1,
则sin B=1-cos2B=1-(31010) 2=1010,
∴tan B=sinBcosB=101031010=13,
由三角形内角和定理有A+B+C=π,
所以tan
3、 C=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanA·tanB
=-12+131-12×13=-1.
故选B.
4.(20xx咸阳月考)若函数sin α-cos α=-13(0<α<π2),则α属于( B )
(A)(0,π6) (B)(π12,π4)
(C)(π4,π3) (D)(π3,π2)
解析:sin α-cos α=2sin(α-π4)=-13,
sin(α-π4)=-26,由-12<-26<0,
因为0<α<π2,
所以-π6<α-π4<0,即π12<α<π4,
故选B.
5.设α、β都是锐角,且cos α=55,sin(α+β)=35,则cos β等于
4、( A )
(A)2525 (B)255
(C)2525或55 (D)255或2525
解析:因α、β为锐角,cos α=55,sin(α+β)=35,
所以sin α=255,cos(α+β)=±45.
又因为cos α=55<12,α∈(0,π2),
所以α∈(π3,π2),从而α+β>π3.
于是cos(α+β)<12,
故cos(α+β)=-45.
cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-45×55+35×255
=2525.
故选A.
6.已知向量m=(3sin x4,1),n=(cos x
5、4,cos2x4),f(x)=m·n,若f(x)=1,则cos(x+π3)的值为( A )
(A)12 (B)22 (C)-22 (D)-12
解析:∵f(x)=m·n=3sin x4cos x4+cos2x4=32sin x2+12cos x2+12=sin(x2+π6)+12,而f(x)=1,
∴sin(x2+π6)=12,∴cos(x+π3)=cos 2(x2+π6)=1-2sin2(x2+π6)=12.故选A.
二、填空题
7.(20xx昆明一模)若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tan αtan β= .
解析:由题cos αcos β-sin
6、αsin β=15,
cos αcos β+sin αsin β=35,则cos αcos β=25,
sin αsin β=15,sinαsinβcosαcosβ=tan αtan β=12.
答案:12
8.sin α=35,cos β=35,其中α、β∈(0,π2),则α+β= .
解析:∵sin α=35,cos β=35,α,β∈(0,π2),
∴cos α=45,sin β=45,
∴cos(α+β)=45×35-35×45=0.
又∵α+β∈(0,π),
∴α+β=π2.
答案:π2
9.已知cos α=17,cos(α+β)=-1114,α∈(0,
7、π2),α+β∈(π2,π),则β的值为 .
解析:∵cos α=17,α∈(0,π2),∴sin α=437,
又∵cos(α+β)=-1114,α+β∈(π2,π),∴sin (α+β)=5314,
∵cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=12,
又∵α∈(0,π2),α+β∈(π2,π),β∈(0,π),∴β=π3.
答案:π3
10.已知sin(α-π3)=35,α∈[5π6,5π4],则cos α= .
解析:因为α∈[5π6,5π4],所以α-π3∈[π2,11π12],
因为sin(α-π
8、3)=35,所以cos(α-π3)=-45.
因此cos α=cos(α-π3+π3)=12cos(α-π3)-32sin(α-π3)=-4+3310.
答案:-4+3310
三、解答题
11.(20xx高考江苏卷)已知α∈(π2,π),sin α=55.
(1)求sin(π4+α)的值;
(2)求cos(5π6-2α)的值.
解:(1)因为α∈(π2,π),sin α=55,
所以cos α=-1-sin2α=-255.
故sin(π4+α)=sin π4cos α+cos π4sin α
=22×(-255)+22×55
=-1010.
(2)由(1)知sin 2α
9、=2sin αcos α
=2×55×(-255)
=-45,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×(55)2=35,
所以cos(5π6-2α)=cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α
=(-32)×35+12×(-45)
=-4+3310.
12.已知向量a=(2cos x,1),b=(cos x,3sin 2x),函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[π6,π2]时,若f(x)=115,求f(x-π12)的值.
解:(1)f(x)=2cos2x+3sin 2x=2sin(2x+π6)+1,
∴T=
10、π.
由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),则f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z).
(2)f(x)=2sin(2x+π6)+1=115,则sin(2x+π6)=35.
由π6≤x≤π2,得π2≤2x+π6≤7π6,
所以cos(2x+π6)=-1-sin2(2x+π6)=-45,
f(x-π12)=2sin(2x+π6-π6)+1
=2sin(2x+π6)cos π6-2cos(2x+π6)sin π6+1
=2×35×32-2×(-45)×12+1
=33+95.
能力提升
13.(20xx高考新
11、课标全国卷Ⅰ)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( C )
(A)3α-β=π2 (B)3α+β=π2
(C)2α-β=π2 (D)2α+β=π2
解析:由题得sinαcosα=1+sinβcosβ,
sin αcos β=cos α+cos αsin β,
即sin(α-β)=cos α,
sin(α-β)=sin(π2-α),
又-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,
∴α-β=π2-α,
2α-β=π2.故选C.
14.定义运算a☉b=ab2+a2b,则sin 75°☉cos 75°的值是 .
解析:由题意,si
12、n 75°☉cos 75°=cos 15°☉sin 15°=cos 15°sin215°+cos215°sin 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+
cos 15°)=12sin 30°(sin 15°+cos 15°)=24(22sin 15°+22cos 15°)
=24(cos 45°sin 15°+sin 45°cos 15°)=24sin 60°=24×32=68.
答案:68
15.(20xx北京东城区期末)已知函数f(x)=23sin xcos x-2sin2x+1.
(1)求f(π12)的值;
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
13、
解:(1)由f(x)=23sin xcos x-2sin2x+1
=3sin 2x+cos 2x,
得f(x)=2sin(2x+π6).
所以f(π12)=2sin π3=3.
(2)因为0≤x≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6.
当2x+π6=π2,即x=π6时,
函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2.
当2x+π6=7π6,即x=π2时,
函数f(x)在[0,π2]上的最小值为-1.
探究创新
16.(20xx陕西长安模拟)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,3).
(1)求sin 2α-tan α的值;
(2)若函数f(
14、x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数y=3f(π2-2x)-2f2(x)在区间[0,2π3]上的值域.
解:(1)因为角α终边经过点P(-3,3),
所以sin α=12,cos α=-32,tan α=-33.
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-32+33=-36.
(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,x∈R,
∴y=3cos(π2-2x)-2cos2x=3sin 2x-1-cos 2x=2sin(2x-π6)-1.
∵0≤x≤2π3,∴0≤2x≤4π3,∴-π6≤2x-π6≤7π6,
∴-12≤sin(2x-π6)≤1,∴-2≤2sin(2x-π6)-1≤1,
故函数y=3f(π2-2x)-2f2(x)在区间[0,2π3]上的值域是[-2,1].
新编新课标高三数学一轮复习 第3篇 第5节 三角恒等变换课时训练 理
