新版新课标Ⅱ版高考数学分项汇编 专题10 立体几何含解析文科

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2、 1 专题10 立体几何 一．基础题组 1. 【20xx全国新课标，文7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B　 2. 【20xx全国新课标，文7】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　

3、　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【答案】：B　 3. 【2007全国2，文7】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】：A 4. 【2006全国2，文7】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( ) （A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9 【答案】B 【解析】连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有，同理可得

4、AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中，所以，又因为AB=12,所以 5. 【2005全国3，文4】设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 6. 【2005全国2，文2】正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（ ） (A) 三角形 (B) 四边形 (C) 五边形 (D) 六边形 【答案】D 7. 【2007全国2，文15】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球

5、面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 【答案】： 【解析】这个正四棱柱，体对角线为2cm，底面为边长1cm的正方形，则根据勾股定理，解得，则表面积. 8. 【20xx全国2，文18】（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点. （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 9. 【20xx课标全国Ⅱ，文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点． (1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)设AA1

6、＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱锥C－A1DE的体积． (2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD. 由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB. 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 所以VC－A1DE＝＝1. 10. 【20xx全国新课标，文19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点． (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC； (2)平面BDC1

7、分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 11. 【20xx全国新课标，文18】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点． （1）证明：平面PAC⊥平面PBD； （2）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P—ABCD的体积． 12. 【2005全国2，文20】(本小题满分12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，、分别为、的中点． (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 设，求与平面所成的角的大小． (II)解：不妨设BC=1，则PD=AD=1，AB=，PA=，AC= ∴△PAB

8、为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB ∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直 ∴PB⊥平面AEF 连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH∥平面AEF ∠GAH为AC与平面AEF所成的角 由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC= 由△EGH∽△EBF可知GH=BF= ∴∠GAH= ∴AC与平面AEF所成的角为。 方法二 以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。 ∴异面直线AC、PB所成的角为 ∴=0，PB⊥AF 又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线 ∴PB⊥

9、平面AEF ∴AC与平面AEF所成的角为－ 即AC与平面AEF所成的角为。 二．能力题组 1. 【20xx全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 【20xx课标全国Ⅱ，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，

10、则得到的正视图可以为(　　)． 【答案】：A 【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图： 则它在平面zOx的投影即正视图为，故选A. 3. 【20xx全国新课标，文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 4. 【20xx全国2，文8】已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】：D

11、　 【解析】法一：(几何法)如图，取BC中点D，连结AD、SD. 法二：(向量法)以A为原点，分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)． 则， 得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)， ∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sinα＝|cos〈，n〉|＝＝＝ 5. 【20xx全国新课标，文15】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的____________．(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥　②四棱锥　③三棱

12、柱　④四棱柱　⑤圆锥 ⑥圆柱 【答案】：①②③⑤ 6. 【2006全国2，文14】圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。 【答案】 【解析】 7. 【2006全国2，文20】（本小题１２分） 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。 （I）证明：ED为异面直线与的公垂线； （II）设求二面角的大小 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 解法二： （Ⅰ）如图，建立直

13、角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点． 8. 【2005全国3，文19】(本小题满分12分) 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD； （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． 设是面VDB的法向量，则 ……9分 ∴，……………………………………11分 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为…………12分 三．拔高题组 1. 【20xx全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( ) （A）

14、 （B） （C） （D） 【答案】C 2. 【20xx全国2，文11】与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点(　　) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个 【答案】：D　 【解析】经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点． 3. 【2005全国3，文11】不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D

15、 【解析】 4. 【2005全国2，文12】△的顶点在平面内，、在的同一侧，、与所成的角分别是和．若，，，则与所成的角为（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】 5. 【20xx课标全国Ⅱ，文15】已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为__________． 【答案】：24π 6. 【2010全国2，文16】已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝________. 【答案】：3 7. 【

16、2005全国2，文16】下面是关于三棱锥的四个命题： ① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 8. 【20xx全国2，文19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1. (1)

17、证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线； (2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1AC1B1的大小． 【解析】：法一：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F， 因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. 作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点． 又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B， 连结DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD， 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线． 所以二面角A1AC

18、1B1的大小为arctan. 解法二：(1)证明：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 设AB＝2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0)， 又设C(1,0，c)，则＝(，，0)，＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)． 于是＝0，＝0， 故DE⊥B1A，DE⊥DC， 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线． (2)因为〈，〉等于异面直线AB1与CD的夹角， 令p＝，则q＝，r＝－1，故n＝(，，－1)． 所以cos〈m，n〉＝＝. 由于〈m，n〉等于二面角A1AC1B1的平面角， 所以二面角A1AC1B1的大小为arccos. 9. 【2007全国2，文20】（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点. (Ⅰ)求证：EF∥ 平面SAD (Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小. 取中点，连结，则. 又平面，所以，而， 所以面. 取中点，连结，则. 连结，则. 故为二面角的平面角 . 所以二面角的大小为. 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系. 所以向量和的夹角等于二面角的平面角. . 所以二面角的大小为.