新版高考数学广东专用文科复习配套课时训练：第十篇 概率 大题冲关集训(六)含答案

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2、 1 大题冲关集训(六) 1.(20xx潍坊一模)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人. (1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数; (2)若从抽得的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率.

3、 解:(1)家长委员会人员总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为6108=118,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2. (2)设A1,A2,A3为从高一抽得的3个家长,B1为从高二抽得的1个家长,C1,C2为从高三抽得的2个家长. 则抽取的全部结果有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2), (A2,A3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1), (B1,C2),(C1,C2),共15种. 令X=“至少有一人是高三学生家长”,结

4、果有(A1,C1),(A1,C2),(A2,C1), (A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共9种. ∴这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是 P(X)=915=35. 2.(20xx年高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天. (1)求此人到达当日空气质量优良的概率; (2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率; (3)由图判断从哪天开始连续三天

5、的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是613. (2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 3.(20xx惠州一调)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数ξ依次为1,2,…,8,产品的等级系数越大表明产品的质量越好.现从该厂生产的产品中随机抽取30件

6、,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3　5　3　3　8　5　5　6　3　4 6　3　4　7　5　3　4　8　5　3 8　3　4　3　4　4　7　5　6　7 该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品,等级系数5≤ξ<7的为二等品,等级系数3≤ξ<5的为三等品,ξ<3为不合格品. (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取2件,求所抽得的2件产品等级系数都是8的概率. 解:(1)由样本数据知,30件产品中,一等品有6件,二等品有9件,三等品有15件. 故样本中一等品的频率为630=0.2,故估计该厂生产的产品的一等品率为0.

7、2, 二等品的频率为930=0.3,故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3, 三等品的频率为1530=0.5,故估计该厂生产的产品的三等品率为0.5. (2)样本中一等品有6件,其中等级系数为7的有3件,等级系数为8的有3件, 记等级系数为7的3件产品分别为C1,C2,C3,等级系数为8的3件产品分别为P1,P2,P3,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为(C1,C2),(C1,C3),(C1,P1),(C1,P2),(C1,P3),(C2,C3),(C2,P1),(C2,P2), (C2,P3),(C3,P1),(C3,P2),(C3,P3),(P1,P2),(P1,P3),

8、(P2,P3),共15种, 记从“一等品中随机抽取2件,2件等级系数都是8”为事件A,则A包含的基本事件有(P1,P2),(P1,P3),(P2,P3),共3种. 故所求的概率P(A)=315=15. 4.(20xx天津一模)20xx年春节,有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年,为保证他们的安全,交管部门在321国道沿线设立了多个驾乘人员休息站,交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车,就进行省籍询问一次,询问结果如图所示. (1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样 方法? (2)用分层抽样的方

9、法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有5名,则四川籍的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名,求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率. 解:(1)系统抽样. (2)5天中抽取的广西籍人员有5+20+25+20+30=100人,四川籍人员有15+10+5×3=40人,两者比例为5∶2,所以广西籍抽5人,则四川籍应抽2人. (3)用a1,a2,a3,a4,a5表示被抽取的广西籍驾驶人员,b1,b2表示被抽取的四川籍驾驶人员,则所有基本事件为:{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4}, {a1,a5},{a1,b1},{a1,b2},{a2,a3},{a2,a4},

10、{a2,a5},{a2,b1},{a2,b2}, {a3,a4},{a3,a5},{a3,b1},{a3,b2},{a4,a5},{a4,b1},{a4,b2},{a5,b1}, {a5,b2},{b1,b2},共21个. 其中至少有1名驾驶人员是广西籍的基本事件为20个. ∴至少有1名驾驶人员是广西籍的概率为P=2021. 5.(20xx西北工大五月)某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1级(很

11、不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如下表(服务满意度为x,价格满意度为y). 　 y 人数 x 价格满意度 1 2 3 4 5 服务满意度 1 1 1 2 2 0 2 2 1 3 4 1 3 3 7 8 8 4 4 1 4 6 4 1 5 0 1 2 3 1 (1)求高二年级共抽取学生人数; (2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”对应人数的方差; (3)为提高食堂服务质量,现对样本进行研究,从x<3且2≤y<4的学生中随机抽取两人征求意

12、见,求至少有一人的“服务满意度”为1的 概率. 解:(1)共有1400名学生, 高二年级抽取的人数为4601400×70=23. (2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为 3+7+8+8+45=6, 所以方差 s2=(3-6)2+(7-6)2+2(8-6)2+(4-6)25=4.4. (3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为2”的4人记为a,b,c,d,“服务满意度为1”的3人记为x,y,z. 在这7人中抽取2人有如下情况:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y), (a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z),(

13、c,d),(c,x),(c,y), (c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21种情况. 其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. 所以至少有一人的“服务满意度为1”的概率为P=1521=57. 6.(20xx沈阳二模)为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩. (1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至

14、少有一名被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀.请填写下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)) 解:(1)记成绩为87分的同学为

15、A,B,其他不低于80分的同学为C、D、E,“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10个, “抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有7个,所以P=710. (2) 甲班 乙班 合计 优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 合计 20 20 40 K2=40×(6×6-14×14)220×20×20×20=6.4>5.024. ∴我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 7

16、.(20xx广东揭阳市二模)某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试,规定:成绩大于或等于90分的有参赛资格,90分以下(不包括90分)的则被淘汰.现有100人参加测试,测试成绩的频率分布直方图 如图. (1)求获得参赛资格的人数; (2)根据频率分布直方图,估算这100名学生测试的平均成绩; (3)现在成绩[110,130)、[130,150] (单位:分)的同学中采用分层抽样随机抽取5人,按成绩从低到高编号为A1,A2,A3,A4,A5,从这5人中任选2人,求至少有1人的成绩在[130,150]的概率. 解:(1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为: 100×(0.00

17、50+0.0045+0.0030)×20=25人. (2)由频率分布直方图可估算这100名学生的平均成绩为(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0045+140×0.0030)×20=78.4分. (3)成绩在[110,130)的人数为100×0.0045×20=9人,成绩在[130,150]的人数为100×0.0030×20=6人,所以应从成绩在[130,150]中抽取615×5=2人,从成绩在[110,130)中抽取915×5=3人,故A4,A5∈[130,150],A1,A2,A3∈[110,130). 从A1,A2,A3,A4,A5中任取两人,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5), (A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5)10种不同的情况, 其中含有A4,A5的共有7种,所以至少有1人的成绩在[130,150]的概率为710.