新编理数北师大版练习：第二章 第四节　二次函数的再研究与幂函数 Word版含解析

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1、 课时作业 A组——基础对点练 1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝(　　) A.　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝. 答案：C 2．已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图像关于y轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．f(－2)>f(1) B．f(－2)f(－1) 解析：由于幂函数f(x)＝xn的图像关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)

2、＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)

3、y轴的交点(0，c)在负半轴上．选D. 答案：D 5．设函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)．若f(m)＜0，则f(m－1)的值为(　　) A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能 解析：函数f(x)＝x2－x＋a图像的对称轴为直线x＝，图像开口向上，且f(0)＝f(1)＝a＞0.所以当f(m)＜0时，必有0＜m＜1，而－1＜m－1＜0，所以f(m－1)＞0. 答案：A 6．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是(　　) A．f(m)＜f(0) B．f(m)＝f(0) C．f(m)＞f(0) D．f(m

4、)与f(0)大小不确定 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m＜0，所以f(m)＜f(0)． 答案：A 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是(　　) A．[1,2] B．(0,1] C．(0,2] D．[1，＋∞) 解析：作出函数的图像如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的

5、最大值为4，最小值为3.故选A. 答案：A 8．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　) 解析：因为a>0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图像知a>1，由g(x)的图像知01，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图像知0

6、D．－2 解析：∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a， ∴或解得a＝1. 答案：B 10．已知g(x)是R上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1) 解析：设x>0，则－x<0，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝并且函数f(x)是R上的单调递增函数，所以当f(2－x2)>f(x)时

7、，满足2－x2>x，解得－2

8、f(x＋2)＋3f(－x)＝0，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x，则当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值为(　　) A．－1 B．－ C．－ D. 解析：设x∈[－4，－2]，则x＋4∈[0,2]．∵y＝f(x)是奇函数，∴由f(x＋2)＋3f(－x)＝0，可得f(x＋2)＝－3f(－x)＝3f(x)，∴f(x＋4)＝3f(x＋2)，故有f(x)＝f(x＋2)＝.故f(x)＝f(x＋4)＝[(x＋4)2－2(x＋4)]＝(x2＋6x＋8)＝.∴当x＝－3时，函数f(x)取得最小值为－.故选C. 答案：C 13．设函数则使得f(x)≤4成立的x的取值范围是

9、 ． 解析：f(x)的图像如图所示， 要使f(x)≤4只需∴x≤64. 答案：(－∞，64] 14．已知函数f(x)＝若f(3－a2)2a，解得－3

10、位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，∴f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7. 答案：[7，＋∞) 16．若x＞1，xa－1＜1，则a的取值范围是 ． 解析：因为x＞1，xa－1＜1，所以a－1＜0，解得a＜1. 答案：a＜1 B组——能力提升练 1．(20xx·福州市质检)已知函数f(x)＝x2－πx，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝， tan β＝，cos γ＝－，则(　　) A．f(α)＞f(β)＞f(γ) B．f(α)＞f(γ)＞f(β) C．f(β)＞f(α)＞f(γ) D．f(β)＞f(γ)＞f(α) 解析：因为sin

11、 α＝，tan β＝，cos γ＝－，且α，β，γ∈(0，π)，所以0＜α＜或 ＜α＜π，＜β＜，＜γ＜，因为函数f(x)＝x2－πx的图像的对称轴为x＝，其图像如图所示，由图易知，f(α)＞f(β)＞f(γ)，故选A. 答案：A 2．(20xx·衡阳模拟)已知a为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，a]，都有f(x)∈[－a，a]，则实数a的取值范围为(　　) A．(1,2) B．[1,2] C．(0，＋∞) D．(0,2] 解析：当0

12、，f(a)≤a，即1－2＋a≥－a，a2－2a＋a≤a，因此1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为0

13、－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f(x)＝x2 015. ∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数． 又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b， 又ab＜0，不妨设b＜0， 则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0， 又f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A. 答案：A 4．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,3) B．[－3，－1] C．[－3,3) D．[－1,1) 解析：因为f(x)＝ 所以g(x)＝ 又g

14、(x)有三个不同的零点，则方程3－x＝0，x>a有一个解，解得x＝3，所以a<3，方程x2＋4x＋3＝0，x≤a有两个不同的解，解得x＝－1或x＝－3，又因为x≤a，所以a≥－1.故a的取值范围为[－1,3)． 答案：A 5．幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 解析：由题意知解得m＝1.故选B. 答案：B 6．下列选项正确的是(　　) A．0.20.2>0.30.2 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3>0.93.1 解析：A中，∵函数y＝x0.2在(

15、0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B中，∵函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴； C中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2； D中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：B 7．已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋c，f′(0)<0，且f(x)∈[0，＋∞)，则的最大值为(　　) A．－3 B．－2 C．－ D．－ 解析：由题意得f′(x)＝2ax－b，因为f′(0)<0，所以b>0

16、.由f(x)∈[0，＋∞)得，即，所以c>0，>0，＝－，因为2＝≥≥1，所以≥1，当且仅当a＝c＝时，等号成立，所以＝－≤－2. 答案：D 8．设函数f(x)＝(a，b，c∈R)的定义域和值域分别为A，B，若集合{(x，y)|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足(　　) A．|a|＝4 B．a＝－4且b2＋16c＞0 C．a＜0且b2＋4ac≤0 D．以上说法都不对 解析：由题意可知a＜0，且ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＞0.设y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于两点(x1,0)，(x2,0)， 则x1＋x2＝－，x1x

17、2＝，f(x)的定义域为[x1，x2]， ∴|x1－x2|＝＝＝. 由题意可知＝，解得a＝－4. ∴实数a，b，c满足a＝－4，b2＋16c＞0，故选B. 答案：B 9．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为(　　) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 解析：函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图像的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下： ①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②当0

18、，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在(a,1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝，∵01时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 答案：D 10．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　) A．－1是f(x)的零点 B．

19、1是f(x)的极值点 C．3是f(x)的极值 D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上 解析：由已知得，f′(x)＝2ax＋b，则f(x)只有一个极值点，若A、B正确，则有解得b＝－2a，c＝－3a，则f(x)＝ax2－2ax－3a. 由于a为非零整数，所以f(1)＝－4a≠3，则C错． 而f(2)＝－3a≠8，则D也错，与题意不符，故A、B中有一个错误，C、D都正确． 若A、C、D正确，则有 由①②得 代入③中并整理得9a2－4a＋＝0， 又a为非零整数，则9a2－4a为整数，故方程9a2－4a＋＝0无整数解，故A错． 若B、C、D正确，则有 解得a＝5，b＝－10，c＝8

20、，则f(x)＝5x2－10x＋8， 此时f(－1)＝23≠0，符合题意．故选A. 答案：A 11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是 ． 解析：f(x)＝(x－a)2＋5－a2，根据f(x)在区间(－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f(1)≥f(a＋1)， 从而|f(x1)－f(x2)|max＝f(1)－f(a)＝a2－2a＋1， 由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3， 又a≥2，所以2≤a≤3. 答案：[2,3] 12．若方程x2＋ax＋2

21、b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则的取值范围是 ． 解析：令f(x)＝x2＋ax＋2b，∵方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴∴根据约束条件作出可行域(图略)，可知<<1. 答案： 13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x＞0)图像上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ． 解析：设P，x＞0， 则|PA|2＝(x－a)2＋2＝x2＋－2a＋2a2＝2－2a＋2a2－2. 令t＝x＋，则由x＞0，得t≥2. 所以|PA|2＝t2

22、－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2， 由|PA|取得最小值得 或， 解得a＝－1或a＝. 答案：－1， 14．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是 ． 解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知， 当x∈[2,3]时， y＝x2－5x＋4∈， 故当x∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图像有两个交点． 答案：